Sections planes de surface

Mathémator : Pas si vite ! Les problèmes de dérivation et de limites deviennent très vite compliqués pour les fonctions de deux variables, c'est pourquoi nous ne les étudierons pas cette année. Sachez au moins que, par exemple, une fonction peut être " dérivable " selon x et selon y sur un " intervalle " et pourtant ne pas être continue en certains points. Cela trouble beaucoup d'étudiants car ils abordent l'étude des fonctions de deux variables sans intuition géométrique. Nous allons pour notre part adopter une toute autre démarche : nous allons nous contenter d'étudier " géométriquement " ces fonctions en espérant que vous garderez ces images en tête l'année prochaine.

1. Un skieur de fond perdu dans le brouillard s'arrête, les skis bien horizontaux pour ne pas glisser, et cherche à se repérer à l'aide de son altimètre et de sa boussole. Il voit qu'il se trouve à 100 mètres d'altitude, avec ses skis orientés droit vers l'est. La pente est descendante vers sa gauche. Quelles est sa position sur la carte ?

4. Dessinez le profil du relief le long de divers itinéraires sud-nord, en évaluant pour chacun de ces itinéraires l'altitude du point culminant. En quel point de la baie le plaisancier doit-il aborder pour que son dénivelé soit le plus petit possible ? Marquez sur la carte le point culminant de son itinéraire, et évaluez-en l'altitude.

Mathémator : Voilà ! Par exemple un cercle n'est pas la représentation graphique d'une fonction d'une variable car des réels auraient dans ce cas deux images. Et bien c'est pareil pour une fonction de deux variables : à tout couple (x, y ) de D doit correspondre un unique réel z. Cela signifie que la droite perpendiculaire au plan (xOy ) passant par le point M(x, y, 0) doit couper la surface en un seul point, ce qui n'est pas le cas pour une sphère.

Mathémator : Oui, d'accord. Mais je pensais à une fabrication mathématique. Quels matériaux de base utiliseriez-vous ? Téhessin : Je suppose que je collerais bout à bout des droites, comme pour un radeau : c'est ce que vous voulez me faire dire ? Mathémator : Parfait ! Cette possibilité de fabriquer une surface à partir de droites va, vous allez le voir, être un critère déterminant pour étudier les surfaces et leurs sections planes.

Et on peut obtenir le même résultat pour une coupe parallèle au plan (xOz). On obtient donc un résultat assez étonnant, à savoir qu'on peut construire cette surface en collant des petites baguettes : comme pour les plans, on dit que cette surface est réglée car elle est obtenue comme famille de droites.

En fait, vous comprendrez aisément que si, dans une équation, x et y n'interviennent que sous la forme x2 + y 2, alors l'équation de la surface ne dépend que de z et la distance à l'axe (Oz). Des coupes parallèles au plan (xOy ) seront donc des cercles et la surface sera donc de révolution.