Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser

Enfin, nous avons rassemblé de nombreux exercices, répartis en deux classes. Certains, élémentaires, sont destinés à faciliter et à contrôler l'assimilation du cours. D'autres, plus complexes, et marqués d'une étoile (*), présentent des développements récents qui ne sont parfois publiés que dans des articles: que leurs auteurs nous pardonnent cette simplification ! Ces exercices, contrairement à ceux de certain(s) traité(s) fameux, peuvent être effectivement résolus par de vrais étudiants, comme l'expérience de l'enseignement à l'ENS l'a montré.

La double destination de ces notes nous a conduit à leur garder leur brièveté, au prix parfois d'une certaine densité du texte (que nous croyons néanmoins accessible aux étudiants motivés). Nous avons pensé en particulier à de nombreux collègues de " Mathématiques Appliquées " désireux d'utiliser le théorème de Nash-Moser dans leur recherche ou de se mettre au courant de l'analyse microlocale, sans entrer dans les arcanes de la littérature spécialisée : ils pourront lire les chapitres voulus indépendamment les uns des autres.

Les auteurs reconnaissent leur dette envers de nombreux mathématiciens (cités dans les commentaires) qui les ont inspirés pour la présentation des sujets abordés, et tout particulièrement envers L. HôRMANDER, auquel les chapitres I et III.C doivent l'essentiel de leurs contenus mathématiques. La bibliographie présentée en fin d'ouvrage indique les sources utilisées.

On expose au chapitre I la théorie " minimale " des opérateurs pseudo­ différentiels, dans un cadre global (sur !Rn) qui se révèle être agréable dans la pratique. Les points principaux en sont le concept de symbole, le calcul symbolique des opérateurs, l'action dans les espaces de Sobolev et l'invariance par changement de coordonnées. Le texte ne présente qu'assez peu d'applications concrètes, et les preuves les plus techniques sont regroupées dans l'appendice, afin de faciliter au lecteur une vue d'ensemble du sujet. Les exercices du chapitre I, particulièrement nombreux, introduisent aux multiples variantes de la théorie proposée, et en présentent quelques applications, notamment à l'analyse sur les variétés compactes.

Enfin, la partie C contient un traitement des inégalités d'énergie hyperboliques pour lequel les opérateurs pseudo-différentiels se révèlent être un outil efficace. La fonction du chapitre II est donc de présenter des applications fort utiles de la " théorie sèche " du chapitre 1, tout en préparant le matériel et les concepts dont on aura besoin au chapitre III.