Loi de probabilité discrète

Le problème est simple : prenons deux boîtes identiques A et B dont l'une contient deux fois plus de balles de revolver que l'autre, mais vous ignorez laquelle. La situation est donc totalement symétrique. Pourtant un expert, qui ignore également quelle est la boîte la mieux lotie en balles de revolver, affirme au ministre syldave qu'il faut choisir la boîte B !

La veille de l'élection, le candidat Joe Max Bill Pol réfléchit, allongé dans son lit : " ma cravate a pour longueur L. Si ma cravate est la plus longue, ce qui a une chance sur deux de se produire, je la perds, donc je perds une cravate de longueur L. Sinon, je gagne la cravate de l'autre qui est plus longue que L. Donc une fois sur deux je perds L et une fois sur deux je gagne plus que L. Mon espérance est donc positive donc je suis confiant ". Son adversaire tient bien sûr le même raisonnement...

Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l'entreprise est soumis à deux contrôles : d'une part l'aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu'il ne présente pas de défaut de finition, d'autre part sa solidité est testée.

Soit alors X la variable aléatoire à valeurs dans {0, 1}, prenant la valeur 1 si l'issue de l'épreuve est P et 0 sinon. On appelle alors la loi de probabilité de la variable aléatoire X loi de Bernoulli de paramètre 5/8. Le calcul de l'espérance est aisé (vérifier quand même qu'elle vaut 5/8).

Imaginons maintenant que nous répétions cette expérience n fois, en ayant toujours soin de replacer l'objet tiré dans l'urne. La répétition de ces n épreuves de Bernoulli est appelé un schéma de Bernoulli. Les issues élémentaires de ces n tirages sont des " mots " de n lettres, chaque lettre étant un P ou un P. On définit alors la variable aléatoire Y à valeurs dans {0, 1, 2, ..., n}, donnant le nombre de tirages " piquants " de ces issues élémentaires. On dit que Y suit la loi binomiale de paramètres n et 5/8, notée B(n, 5/8).