Introductions aux espaces de Teichmuller

Dans ce cours (20 heures) on construit les coordonnées de Funchal-Nielsen de l'espace de Eichmüller hyperbolique d'une surface S, que nous supposerons compacte et sans bord pour simplifier. On montre que ces coordonnées sont analytiques réelles, et on en déduit le plongement de Fricke-Kein. Comme applications principales on détermine les compacts de l'espace dâ??Eichmüller de S, on montre que l'action du groupe modulaire est proprement discontinue, on définit l'espace (quotient) des modules, et on prouve le théorème de précompacitée de Mumford.

Les résultats prouvés sont numérotées, les objets définis dans le cours sont écrits en italique à` leur première mention.

Dans cette section on prouve quelques propriétés de deux modèles de l'espace hyperbolique de dimension deux, le modèle du disque et celui du demi-plan. Ces propriétés décrivent la géométrie hyperbolique de manière essentiellement exhaustive, sauf pour ce qui concerne la convexité de la fonction distance hyperbolique et sa courbure, abordées dans les sections 4.3 et 2.3 respectivement. La nature "hyperbolique" de ces modèles est expliquée dans la Remarque 1.10, 2). Deux références générales sont [BP, Ch. A] et [T, Ch. 2].

Dans cette section on détermine l'ensemble des surfaces qui supportent une métrique localement isométrique a` celle de H, et lorsque ces métriques sont complètes on les caractérise en terme d'actions de groupes sur leur revêtement universel. On termine par quelques remarques sur les relations entre ces résultats et le théorème d'uniformisation de B. Riemann.