Introduction au calcul scientifique

Les deux exemples que nous venons de voir sont en fait très similaires. Il s'agit de problèmes que l'on peut modéliser par un réseau discret. On a d'une part des relations de connexité, qui ne dépendent que de la topologie du réseau (la matrice K dans l'exemple précédent), et d'autre part des " lois de comportements " (comme la loi d'Ohm). Cette structure est en fait très générale, et sous-tend de nombreux modèles que l'on rencontre en mathématiques appliquées (le livre de Strang [26] se base en grande partie sur cette structure).

Les problèmes auxquels nous avons abouti ( (1.1) ou (1.5)) sont des systèmes d'équations linéaires. C'est " naturel " compte tenu des hypothèses (souvent implicites) que nous avons faites. Les lois des réseaux sont effectivement linéaires, par contre les lois de comportements ne le sont souvent pas, et un comportement linéaire n'est alors qu'une approximation dans un certain régime de fonctionnement. Une discussion de cet aspect des modèles est en dehors du cadre de ce cours.

Il est intéressant de noter que ce type de modèle est une version simplifiée de ce que l'on obtient dans l'étude de l'approximation des équations aux dérivées partielles par la méthode des éléments finis. Dans ce cas, en particulier dans les problèmes de structure, le réseau est " artificiel ", c'est-à-dire un artefact de la méthode de résolution. Comme l'on cherche à représenter une quantité continue, il est raisonnable de penser que le nombre de noeuds doit être " grand ". Une fois de plus, on fait alors appel à des méthodes spécifiques, qui sortent du cadre de ce cours, mais qui sont des extensions de celle que nous étudierons.

Comme nous l'avons noté, la matrice A = KT CK est symétrique, et semi-définie positive. Dans les applications, des conditions comme les potentiels imposés font qu'elle sera définie positive. Comme nous le verrons, ces propriétés simplifient la résolution des systèmes avec la matrice A.