Nombres complexes - partie 1

Ainsi, à partir de ces travaux, les mathématiciens ont eu l'idée de prolonger les calculs algébriques aux expressions comportant des racines carrées négatives. Il faudra attendre le XIXe siècle pour que ces nombres " qui ne faisaient que passer " aient droit de cité et soient étudiés rigoureusement. Il faudra attendre la même époque pour que le héros romantique Évariste GALOIS propose une étude théorique des équations de degré supérieur à 2, mais ceci est une autre histoire...

Alors que les plus grands esprits depuis trois siècles essayent de donner vie à ces nouveaux nombres fort utiles, la lumière va venir en 1799 d'un modeste arpenteur-géomètre danois inconnu de tous (et qui le restera car il va publier son mémoire en danois et sera donc peu lu pendant un siècle avant d'être enfin traduit !), Caspar WESSEL (en photo), et presque simultanément (1806) d'un tout aussi modeste libraire suisse installé à Paris, Jean-Robert ARGAND, et enfin d'un prêtre français exilé en Angleterre et mathématicien amateur, Adrien Quentin BUÉE.

Le présent essai a pour objet la question de savoir comment la direction doit être représentée analytiquement, c'est-à-dire comment on devrait exprimer les segments de droites, si l'on voulait, au moyen d'une équation unique et entre un segment inconnu et d'autres segments donnés, trouver une expression représentant à la fois la longueur et la direction du segment inconnu.

[..] Essayons donc de généraliser la signification des opérations : n'en bornons pas, comme on l'a fait jusqu'à présent, l'usage aux segments de droite de même sens ou de sens opposés [...]. Si en même temps qu'on prend cette liberté, on respecte les règles ordinaire des opérations, on ne tombe point en contradiction avec l'ancienne théorie des nombres, mais on la développe seulement, on s'accommode à la nature des quantités et on observe la règle générale qui commande de rendre, petit à petit, plus aisé à comprendre une théorie difficile.[...] Par-là précisément [...] non seulement on réussit à éviter toutes les opérations impossibles et à expliquer ce paradoxe qu'il faut quelquefois avoir recours à l'impossible pour expliquer le possible, mais encore on parvient à exprimer la direction des segments de droite situés dans un même plan d'une manière aussi analytique que leur longueur. Or il faut convenir que la démonstration générale de théorèmes géométriques devient souvent plus facile lorsqu'on sait exprimer la direction d'une manière analytique et la soumettre aux règles des opérations algébriques, que lorsqu'on est réduit à la représenter par des figures qui ne sont applicables qu'à des cas particuliers.

En ce qui concerne la direction du produit, si l'on fait partir de la même origine l'unité positive, les facteurs et le produit, celui-ci doit [...] dévier de l'un des facteurs d'autant de degrés et dans le même sens que l'autre facteur dévie de l'unité, en sorte que l'angle de direction du produit ou sa déviation par rapport à l'unité positive soit égale à la somme des angles de direction des facteurs.