Lois continues

Publié par : Bachelier

Dans un repère du plan, un rationnel sera donc un point à  coordonnées entière et Q sera représentépar l'ensemble des points à  coordonnées entières


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Mathémator : Bon, je suis allé trop vite et de manière trop vague. J'ai précisé qu'on pouvait montrer que Q était dénombrable. Eh bien allons-y ! L'idée est toute simple : un rationnel peut être représenté par un couple d'entier. Par exemple 2/3 sera représenté par le couple (2,3). Dans un repère du plan, un rationnel sera donc un point à coordonnées entière et Q sera représenté par l'ensemble des points à coordonnées entières. Prenez une feuille mon petit Téhessix et représentez quelques-uns de ces points. Et maintenant, un petit jeu qui me rappellera mes folles après-midis à dévorer Pif-gadget : reliez par un trait les points suivants


Nous allons donc pouvoir " numéroter " chaque rationnel (1/2 porte par exemple le dossard 9) en prenant soin de " sauter " le couple (2, 4) par exemple car il représente le même rationnel que le couple (1, 2). L'ensemble Q va donc pouvoir être mis en correspondance, terme à terme, avec l'ensemble N, donc il y a " autant " de rationnels que d'entiers !


Mathémator : Supposez que vous disposiez de 100 jetons identiques numérotés de 1 à 100 dans un sac opaque et que vous en tiriez un au hasard. La probabilité de tomber sur le jeton 32 est 1/100. Pouvez-vous maintenant, même en disposant d'un temps infini, inscrire tous les réels sur des jetons ?


Mathémator : Donc il faut procéder autrement. Par exemple, vous voulez mesurer la longueur de votre sabre laser. Même avec le meilleur instrument de mesure imaginable, vous n'obtiendrez qu'un intervalle dans lequel se situe le résultat exact (D'ailleurs, la probabilité pour que le résultat exact soit un nombre décimal est nulle (voir encadré)) (au cm près, au µm près,


Mathémator : Oui mais l'événement " obtenir 0.3232 sur l'écran de la calculatrice " est en fait l'événement " obtenir, lors du choix au hasard, un nombre situé dans l'intervalle [0, 32315 ; 0, 32325[ ". De même qu'on peut penser que la " probabilité " (on ne l'a pas encore définie) de rencontrer une personne mesurant exactement 1,88m est nulle, et d'ailleurs vous vous en fichez, puisqu'il n'existe aucun moyen de vérifier qu?elle est exactement sa taille. En fait, la probabilité d'obtenir exactement 32 doit logiquement être nulle (Comme la définition de la page ?? le confirmera).


Mathémator : En effet ! D'ailleurs, les notions mathématiques que nous abordons et les théories physiques que vous évoquez ont été développées presque simultanément. De plus, l'équation quantique par excellence, la fameuse équation de Schrödinger, fait en fait intervenir la densité de probabilité de présence de la particule au point considéré.



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Date :

02/01/2011


Langue :

Français


Pages :

15


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4970


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Résumé

Auteur : Guillaume Connan


Tags : Cours, mathématiques
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