Transitions de phase et groupe de renormalisation

C'est dans le cadre de la physique statistique et des transitions de phase continues que la discussion de ces problèmes conceptuels est la plus simple. Cet ouvrage tente donc d'introduire de façon élémentaire les notions de limite continue et d'universalité dans les systèmes aléatoires à un grand nombre de degrés de liberté. Nous insisterons sur l'importance des mesures gaussiennes et leurs relations avec l'approximation de champ moyen et la théorie de Landau. Nous montrerons que les approximations quasi-gaussiennes ou de champ moyen ne peuvent pas décrire correctement les transitions de phase. Nous attribuerons cette difficulté au couplage d'échelles de physique très différentes, alors même que les interactions sont locales, c'est-à-dire à courte portée.

Pour analyser ce problème, un concept nouveau est nécessaire : le groupe de renormalisation, dont les points fixes permettent de comprendre l'universalité de la physique à grande distance au-delà du champ moyen.

Les arguments de groupe de renormalisation conduisent alors à l'idée que les corrélations à grande distance près de la température de transition peuvent être décrites par des théories statistiques locales des champs, formellement des théories quantiques des champs en temps imaginaire.

Cet ouvrage, issue de ·;rois années d'enseignement à l'université Paris 7, est organisé de la manière suivante.

Au chapitre 1, nous commençons par une courte introduction semi­ historique, qui essaie de décrire l'évolution des idées depuis les premiers pas de la théorie quantique des champs [1-4] jusqu'à l'application des méthodes de groupe de renormalisatton à la théorie des transitions de phase.

Dans le chapitre 2, nous avons rassemblé un certain nombre de résultats techniques sur les fonctions génératrices: les mesures gaussiennes et la méthode du col qui sont indispensables pour la compréhension de l'ouvrage.

Le chapitre 3 aborde plusieurs sujets essentiels de lâ??ouvrage : les notions de limite continue et d'universalité, à travers les exemples du théorème de la limite centrale et de la marche au hasard. Nous montrons que l'universalité a comme origine l'hypothèse de faible déviation de la valeur moyenne des distributions de probabilité, ce qui se traduit par une hypothèse de localité de la marche au hasard. Dans les deux cas, la propriété d'universalité se traduit par l'apparition de distributions gaussiennes asymptotiques.

Le chapitre 7 est dédié à la notion de transitions de phase, une notion qui est loin d'être triviale dans la mesure où une transition de phase ne peut être engendrée que par l'interaction d'un nombre infini de degrés de liberté. Nous commençons par résoudre exactement un modèle dans la limite où le nombre de dimensions de l'espace tend vers l'infini. Un tel modèle exhibe une transition de phase de type quasi-gaussien ou de champ moyen, comme nous le verrons plus loin. Ensuite, nous discutons de l'existence de transitions de phase en fonction de la dimension d'espace. Nous insistons sur la différence entre modèles avec symétries discrètes et continues en dimension deux.