Hydrodynamique : Problèmes corrigés

Ce recueil de problèmes corrigés d'Hydrodynamique est principalement destiné aux étudiants de troisième année de licence ou première et deuxième années de master à l'université, dans des cursus de mécanique, mathématiques ou physique, ainsi qu'aux élèves d'écoles d'ingénieurs. Il a pour objectif de venir compléter les ouvrages publiés par mes confrères en proposant des sujets variés et originaux qui, je l'espère, satisferont la curiosité du plus grand nombre.

Les seize problèmes présentés sont académiques et leur résolution peut être menée à terme soit de manière exacte soit de manière approchée à l'aide de méthodes de perturbations. L'étudiant doit posséder une bonne connaissance en hydrodynamique des fluides incompressibles, doit savoir manipuler les opérateurs différentiels (gradient, divergence, rotationnel, laplacien) et connaître de préférence quelques rudiments d'algèbre tensorielle ; quelques rappels sont fournis en annexe si besoin est. Les problèmes ne nécessitent en revanche pas de connaissances particulières en méthodes asymptotiques ou en stabilité hydrodynamique.

La Mécanique des fluides est une discipline complexe mais passionnante, à cheval entre Mathématiques appliquées et Physique. Mon objectif premier au cours des dix années passées en tant qu'enseignant à l'Université de Toulon fut de " faire parler " les équations de l'hydrodynamique équations d'Euler et de Navier-Stokes. Le présent recueil est écrit dans cette philosophie : faire parler les équations afin d'expliquer rationnellement des phénomènes que l'on peut aisément observer, comme l'étalement d'une couche de fluide sous l'effet de son propre poids, la formation de vaguelettes à la surface d'un liquide s'écoulant sur un plan incliné, ou encore l'amplification des vagues à la surface de la mer.

Je souhaite dédier ce livre à tous ceux qui m'ont transmis leur passion pour la mécanique des fluides, tout particulièrement Jean-Pierre Guiraud à l'Université Pierre et Marie Curie. Je remercie chaleureusement Fabrice Mortessagne d'avoir soutenu ce projet et Luc Petit d'avoir accepté de le préfacer.

Dans des conditions usuelles, les équations régissant le mouvement des fluides les plus courants comme l'air et l'eau, c'est-à dire les fluides " newtoniens ", sont les équations établies par Navier et Stokes au cours du XIXe siècle. Du point de vue mathématique, ces équations présentent une structure compliquée due à la présence conjointe d'un terme non-linéaire (l'accélération), d'un terme non-local (la pression en incompressible), et d'un terme de diffusion (la viscosité). Les propriétés mathématiques de ces équations font d'ailleurs encore l'objet de recherches actives pour prouver l'existence, l'unicité et la régularité des solutions(1).

Cependant, les physiciens et les ingénieurs n'ont pas attendu les mathématiciens pour obtenir dans de nombreuses situations des solutions exactes ou approchées. Certes, en raison de la complexité des équations de Navier-Stokes, les solutions exactes sont rares et limitées à des configurations relativement simples, comme les célèbres écoulements de Poiseuille dans une conduite ou de Couette Taylor entre deux cylindres, écoulements décrits dans tous les cours d'Hydrodynamique ; deux autres types d'écoulement donnant lieu à des solutions exactes sont présentés dans les problèmes 1.4 et 1.5.