Théorie statistique des champs Vol. 1

Le premier volume est consacré pour l'essentiel à l'illustration de ces thèmes. Il s'ouvre par une étude des chemins aléatoires et leur relation avec les champs bosoniques, et introduit les intégrales fermioniques sur l'exemple du modèle d'Ising bidimensionnel. Il expose la méthode du champ moyen, les propriétés relatives à l'invariance d'échelle, et illustre les idées de la renormalisation dans le cadre de la transition de Kosterlitz et Thouless du modèle des rotateurs.

Le second volume est plus éclectique. On y trouve d'abord des indications sur les développements de haute ou basse température et les applications des simulations numériques de Monte Carlo, en particulier à la chromo­ dynamique. Un copieux chapitre décrit les résultats récents concernant les systèmes critiques bi-dimensionnels, dans le cadre des théories conformes, qui servent aussi d'outil à la théorie des cordes quantiques. Nous discutons ensuite les applications de l'intégration fermionique à des systèmes désordonnés simples. Enfin le dernier chapitre expose quelques résultats de géométrie aléatoire et introduit l'étude des surfaces fluctuantes.

Dans la première partie, au risque de répétitions, nous nous sommes efforcés de présenter le sujet de manière aussi élémentaire que possible. Nous ne supposons du lecteur qu'une certaine familiarité avec la notion de poids statistique de Gibbs, ainsi qu'avec la représentation des amplitudes de transition quantiques comme superpositions relatives à toutes les évolutions possibles, affectées d'un poids exponentiel dans l'action. C'est précisément ce parallélisme qui est à la source des convergences évoquées précédemment.

Le choix des sujets traités et les nombreuses omissions reflètent les intérêts des auteurs et leurs préoccupations. Nous ne sommes que trop conscients de nombreuses lacunes dont la liste serait à l'origine d'un texte encore plus volumineux. Il est quelque peu dangereux de vouloir systématiser ce que l'on a cru comprendre sans laisser percer deci-delà des ignorances. Il est bon de comprendre à quel point la recherche débouche sur des problèmes ouverts, des questions en suspens, des interrogations. Comprendre nécessite le plus souvent que l'on reprenne la plume, que l'on retrace les étapes d'un raisonnement, que l'on refasse un calcul, que d'une façon générale on ne se satisfasse jamais de ce que l'on trouve écrit ou dit ici et là.

Malgré tous nos efforts, et ils s'étalent hélas sur une trop longue période, il nous a été difficile, voire impossible, de polir suffisamment notre texte pour éviter les notations conflictuelles, fruit de 1'usage, les erreurs matérielles, voire les erreurs tout court.