Théorie de Morse et homologie de Floer

La première partie du cours terminée à la satisfaction des auditeurs, nous avons abordé l'homologie de Floer. Les objets et les techniques, que nous, topologues et géomètres, utilisons tous les jours, de l'homologie de Morse, se sont transfigurés en objets et techniques de l'homologie de Floer. Le charme, un des charmes, et la force, de cette théorie, résident en ceci qu'elle utilise, outre la géométrie et la topologie, beaucoup d'analyse, des opérateurs de Fredholm et des espaces de Sobolev. Exposer ceci à d'authentiques étudiants n'est pas une tâche très facile, même en s'y mettant à deux. C'est pourquoi nous avons décidé de persister à rédiger des notes de cours.

Cinq années se sont écoulées, au cours desquelles nous avons affiné, corrigé, allongé, précisé, majoré, minoré, égalé, comparé, énoncé et démontré soixante-treize théorèmes, cent vingt et une propositions et cent six lemmes, dessiné quatre-vingt-dix-huit figures (et posé un certain nombre d'exercices, dont, contrairement à la coutume, aucun ne contient la démonstration d'un résultat important " laissé en exercice aux lecteurs ")...

À Agnès Gadbled qui a relu avec soin de nombreuses versions préliminaires de ce texte. À Clémence Labrousse et Vincent Humilière pour leurs questions et leurs suggestions. À André Carneiro pour les corrections qu'il nous a suggérées. À Emmanuel Opshtein pour les réponses qu'il nous a aidés à trouver.

C'est une théorie dont la toute première pierre est la remarque que l'étude d'une fonction (bien choisie) peut donner des informations assez précises sur la topologie d'une variété.