Rhéophysique des pâtes et des suspensions

cadre la loi de comportement en cisaillement simple s'exprime maintenant :
schéma le plus naturel consiste à utiliser comme paramètre de structure ( h ) le décalage
de la barrière d'énergie moyenne ( W ) des éléments résultant de l'écoulement, ce qui
1.5.4 Thixotropie
Dans sa plus grande généralité l'équation (1.42) montre que le comportement du fluide,
ou encore sa viscosité, évolue au cours du temps alors que les conditions aux limites
sont fixées (la vitesse de rotation de l'outil ou le couple appliqué). I1 s'agit du
phénomène dit de thixotropie. On distingue aussi quelquefois la thixotropie de l'anti-
du temps. Si le premier phénomène est couramment observé en pratique et semble
correspondre à une propriété physique claire (la déstructuration du fluide en cours
d'écoulement conduit logiquement à diminuer provisoirement la profondeur de la
barrière d'énergie potentielle des éléments) le second phénomène est plus rare. Il est
important de bien distinguer la thixotropie, qui correspond à des évolutions temporelles
de la viscosité, de la rhéofluidification (qf: Q 1.5.5), qui correspond i des évolutions de
la viscosité en fonction du régime d'écoulement. Certains matériaux sont thixotropes au
point qu'ils donnent l'impression de se liquéfier littéralement au cours d'un écoulement.
C'est le cas par exemple des mélanges eau-laponite (une argile de synthèse) qui peuvent
avoir l'aspect relativement solide d'une mayonnaise après quelques heures de repos et en
revanche couler comme de l'huile peu visqueuse après une légère agitation. Notons
enfin que tout fluide est apriori thixotrope car sa réaction à une sollicitation n'est pas
immédiate. L'importance de la thixotropie dans l'écoulement d'un matériau peut être
évaluée à partir du nombre de Déborah, défini comme le rapport du temps caractéristique
d'une évolution significative de la viscosité et du temps caractéristique de l'écoulement.
Lorsque le nombre de Déborah est très petit devant un la thixotropie est négligeable.
La fonctionnelle 3 de l'équation (1.42) est en général très mal connue et les
modèles proposés pour représenter les phénomènes de thixotropie reposent donc sur des
spéculations concernant les évolutions de la microstructure. Une solution possible
consiste à considérer qu'à chaque instant le taux de variation de W est égal à la
différence entre un taux d'excitation (ou de déstructuration) des éléments proportionnel à
proportionnel à une fréquence caractéristique du matériau I/ T, , ce qui nous donne :
Rhéophysique des pâtes et des suspensions
divergence du champ de contrainte au sein des particules, qui est indéterminé compte
tenu de l'hypothèse de rigidité. Pour contourner cette difficulté, nous devons relier ce
champ aux forces extérieures exercées sur la particule. Au sein d'une particule,
l'équation de conservation de la quantité de mouvement s'écrit :
Le terme d'accélération se déduit de l'expression du champ cinématique :
R'"'. On en déduit
II reste maintenant à relier le torseur cinématique des particules au tenseur des
s'exerçant sur la particule, définie comme :
moment cinétique :
en déduit que la dérivée du champ de contrainte équivaut à :
Chupitre 2 - L e s suspensions molles
du membre de droite de l'équation précédente :
x A K ( M c , , ) x
I1 est maintenant possible d'écrire la forme générique de la contribution particulaire au
tenseur des contraintes macroscopiques. Nous pouvons la décomposer en trois termes :
d'une particule test :
j x .r Ondo -Et(- jr x (C.
l N [*;I
le second terme est une contribution liée à la rotation propre des particules :
tandis que le troisième terme provient des fluctuations de vitesse :
Rhéophysique des pâtes et des suspensions
Références
Batchelor, G.K. 1970. The stress system i n a suspension of force free particles. J. Fluid
Mech., 41, 545-570.
Einstein, A. 1956. in Investigation of the Brownian nzovernent. New-York, Dover
publication. [English translation of Ann. Physik, 19, p.286 (1906), et 34, p.591, (191 I ) ] .
Batchelor, G.K. and Green, J.T. 1972. The determination of the bulk stress in a
suspension of spherical particles to order 9, '. J. Fluid Mech., 5 6 , 375.
Kamal, M.R., and Mutel, A. 1985. Rheological properties of suspensions in Newtonian
and non-Newtonian fluids. J . Polymer Eng., 5 , 293-382.
Utracki, L.A. 1988. The rheology of two-phase flows. In Rheornetricnl Men.surernent,
A.A. Collyer and D.W. Clegg (Ed.), Amsterdam, Elsevier Applied Science, Chapter 15,
Metzner, A.B. 1985. Rheology of suspensions in polymeric liquid. J . Rheol., 29, 739-
Chong, J.S., Christiansen, E.B., and Baer, A.D. 1971. Rheology of concentrated
suspensions. J . Appl. Polymer Sei., 15, 2007-202 I .
Quemada, D. 1985. Phenomenological rheology of concentrated dispersions. J . Me'cczn.
Théor. Appl., Numéro spécial, 267-288.
Mooney, M. 195 1 . J. Colloid. Sci., 6 , 162- 170.
Krieger, I.M. and Dougherty, T.J. 1959. A mechanism for non-Newtonian flow in
suspensions of rigid spheres. Trans. Soc. Rheol., III, 137- 152.
Frankel, N.A. and Acrivos, A. 1967. On the viscosity of a concentrated suspension of
solid spheres. Chein. Eng. Sei., 22, 847-853.
Goddard, J.D. 1977. An elastohydrodynamic theory for the rheology of concentrated
suspensions of deformable particles. J. Non-Newt. Fluid Meclz., 2 , 169- 189.
Marrucci, G. and Denn, M.M. 1985. On the viscosity of aconcentrated suspension of
solid spheres. Rheol. Acta, 24, 3 17-320.
Wang, M.-L. and Cheau, T.-C. 1988. Shear viscosity of slightly-elastic concentrated
suspensions at low and high shear rates. Rheol. Acta, 27, 596-607.
Phys., 16, 155-191.
Hoffman, R.L. 1998. Explanations for the cause of shear-thickening in concentrated
colloidal suspensions. J. Rheol., 42, I I I - 123.
Ackerson, B.J. 1990. Shear induced order and shear processing of model hard sphere
suspensions. J. Rheol., 34, 533-590.
Barnes, H.A. 1989. Shear-thickening ("dilatancy") in suspensions of non-aggregating
solid particles dispersed in newtonian liquids. J. Rheol., 33, 329-366.
Petit, L. and Noetinger, B. 1988. Shear-induced structures in macroscopic dispersions.
Rheol. Acta, 27, 437-44 I .
Chapitre 2 - Les suspensions molles
Mewis, J. and Macosko, C.W. 1993. Suspension rheology, in Rheology: principles,
npplicutions, C.W. Macosko and R.G. Larson (Ed.), VCH, New-
Batchelor, G.K. 1971. The stress generated in a non-dilute suspension of elongated
particles by pure straining motion. J . Fluid Mech., 46, 81 3-829.
Kitano, T., Kataoka and Shirota, T. I98 1. Rheol. Actu, 20, 207-209.
Mechünics. New York, John Wiley & Sons.
Kerr, R.C. and Listcr, J.R. I99 I . The effects of shape on crystal settling and on the
rheology of magmas. J . Geology, 99, 457-467.
Hinch, E.J. 1975. Application of the Langevin equation to fluid suspensions. J . Fluid
Mech., 72, 499-5 1 1 .
Pusey, P.N. 1989. Colloidal suspensions. in Liquids, Freezing und Glass 7runsition,
J.P. Hansen, D. Levesque and J. Zinn-Justin (Ed.), Amsterdam, Elsevier Science Publ.,
Russel, W.B., Saville, D.A. and Schowalter, W.R. 1989. Colloidd dispersions.
Cambridge, Cambridge University Press.
Krieger, I.M. 1972. Rheology of monodisperse latices. Adv. Colloid lnterfuce Sei., 3 ,
Barnes, H.A., Jomha. A.I., Lips, A., Merrington, A. and Woodcock, L.V. 1991.
Recent developments in dense suspension rheology. Powder 7 e c h n o l . , 65, 343-370.
Mewis, J. and Spaull, A.J.B. 1976. Rheology of concentrated dispersions. Adv. Colloid
Interf2ic.e Sci., 6 , 173-200.
Mewis, J. 195 1, Thixotropy - A general Review. J. Non-Newt. Fluid Mech., 6, 1-20,
Booth, F. 1950. The electroviscous effect for suapensions of solid spherical particles.
Proc. K.
Soc. London,
A203, 533-55 I .
Hébraud, P., Lequeux, F., Munch, J.P. and Pine, D.J. 1997. Yielding and
rearrangements in disordered emulsions. Phys. Rev. Lett., 7 8 , 4657-4660.
Copal, A.D. and Durian, D.J. 1995. Nonlinear bubble dynamics in a slowly driven
foam. Plzys. Rev. Left., 75, 26 10-26 13.
Dorget, M. 1995. Propriétés rhéologiques des composés silicehilicone, Thèse de
Doctorüt, Grenoble, Univ. Joseph-Fourier.
Coussot, P. 1995. Structural similarity and transition from Netwonian to non-Newtonian
behavior for water-clay suspensions. Phys. Rev. Lett., 74, 397 1-3974.
Coussot, P., Leonov, A.I. and Piau, J.M. 1993. Rheology of concentrated dispersed
systems in low molecular weight matrix. J . Non-Newt. Fluid Mech., 46, 179-2 17.
Hébraud, P. and Lequeux, F. 1998. Mode-coupling theory for the pasty rheology of soft
glassy materials. Phys. Rev. Lett., 8 I , 2934-2937.
Fouic, J.N., Atten, P. and Boissy, C. 1996. Correlation between electrical and
rheological properties of electrical and rheological properties of electrorheological fluids.
J . Intelligent Mut. Syst. Structures, 7, 579-582.
Gray, J.J. and Bonnecaze, R.T. 1998. Rheology and dynamics of sheared arrays of
colloidal particles. J . Rheol., 42, 1 12 I - I IS 1 .
Rhéophysique des pâtes et des suspensions
[42] Moore, F. 1959. The rheology of ceramic slips and bodies. Truns. Brit. Cerum. Soc.,
[43] Quemada, D. 1997. Rhéologie et structure des suspensions concentrées. In Des grands
écoulements naturels à lu dynamique du tas de sable - Introduction aux suspensions en
géologie et en physique, B. Ildefonse, C. Allain et P. Coussot (Ed.), Antony (France),
Cemagref Editions, 123- 144, Ch.7.
[44] Smart, J.R. and Leighton, D.T. 1989. Measurement of the hydrodynamic surface
roughness of noncolloidal spheres. Phys. Fluids A, I , 52-60.
[45] Reynolds, O. 1885. On the dilatancy of media composed of rigid particles in contact.
With experimental illustrations. Phil. Mag. J. Sci., Series 5 , 20, 469-48 1.
[46] Midoux, N. 1993. Mécanique et rhéologie deS.fluides en génie chimique. Paris, Tec &
Doc, Lavoisier.
Les suspensions dures
3.1 Introduction
particulière, les suspensions granulaires (ou dures), au sein desquelles les contacts
(directs ou lubrifiés) entre particules jouent un rôle majeur vis-à-vis des caractéristiques
solide augmente, les particules se gênent et leurs mouvements relatifs sont de plus en
déplacer une particule sans également déplacer les autres. Ce phénomène donne lieu à
des variations de volume en cisaillement simple (appelées dilatance ou contractance selon
le sens), qui constituent une propriété tout 2
fait remarquable et totalement inconnue des
fluides et solides usuels. Par ailleurs, les contacts directs susceptibles de se produire
macroscopiques très différents de ceux observés avec des suspensions concentrées
Rhéophysique des pâtes et des suspensions
privilégiées des contacts entre grains ou bien une répartition hétérogène des particules.
Dans la première partie ( 3 3.2) de ce chapitre, nous présentons de façon un peu plus
précise les caractéristiques des interactions (contacts) rencontrées usuellement au sein
des écoulements de suspensions granulaires. Nous nous intéressons ensuite en détail au
fondamentale sur laquelle nous appuierons notre exposé et que nous avons déjà
laquelle on observe à la fois un réseau de particules en contact prenant place à travers
tout le mélange et des variations de volume en cisaillement simple (dilatance ou
contractance) accompagnant la déformation du milieu. Nous examinons donc ( Q 3.3) les
particules et le comportement macroscopique. En outre nous présentons quelques
conséquences éventuelles, en termes de comportement, de la nature biphasique des
suspensions granulaires (influence de la pression du fluide interstitiel, ségrégation).
ce qui a été fait au chapitre 2 pour les suspensions ordinaires, nous délimitons ( Q 3.4)
Nous passons ensuite en revue le comportement mécanique macroscopique des
hydrodynamique ( 5 3.6), collisionnel ( 3 3.7)). Un dernier paragraphe ( Q 3.8) est
consacré aux écoulements à surface libre au sein desquels peuvent notamment se
développer des régimes intermédiaires (frictionnel-collisionnel ou frictionnel-visqueux).
3.2 Les interactions entre particules
3.2.1 Généralités
Lorsque la concentration solide est grande, des contacts indirects (lubrifiés) prennent
place tant que les particules en mouvement relatif les unes par rapport aux autres restent
séparées par de fines couches de fluide interstitiel. Dans ce cas, les dissipations
que celles résultant des mouvements du reste du fluide ( c t Q 2.3.4). En outre lors du
mouvement relatif de deux particules très proches, la force de répulsion
8 2.6). En fait, compte tenu des incertitudes qui subsistent vis-à-vis des évolutions de la
la somme des dissipations résultant des forces répulsives qui est effectivement
Chapitre 3 - Les suspensions dures
nécessairement à des dissipations visqueuses importantes et, si ce type de mouvement
analogues le remplace probablement. I1 est donc commode de supposer en première
Lorsque deux particules se rapprochent, la force hydrodynamique tend
force à la valeur maximale ( 4, ) correspondant à la rugosité des particules E : on admet
peuvent se produire que si une force suffisante tendant à les rapprocher leur est
appliquée. On peut ainsi induire un frottement si des efforts prolongés sont exercés sur
les unes sur les autres. On peut aussi induire des collisions si les particules sont
suffisamment agitées au sein de la suspension, dans ce cas la force (normale)
additionnelle permettant le rapprochement, résulte de la transmission de quantité de
mouvement entre les particules à travers toute la suspension. Dans les deux cas, tout se
passe comme si une pression supplémentaire (granulaire), équivalente à une pression
La principale différence entre les deux types de contact direct réside dans leur
contact frictionnel est du même ordre que T,. Quoique les mécanismes physiques
élémentaires relatifs à ces deux contacts soient à peu près les mêmes, leurs effets à
relation entre forces normale et tangentielle.
Rhéophysique des pâtes et des suspensions
Corps solide 1
Corps solide 2
Surface de contact
(en projection)
Fig. 3.1 : Aires apparente et réelle de deux corps en contact. La surface de chaque corps
somme des surfaces correspondantes. On a représenté cette aire réelle en projection sur un
plan. Lorsque les déformations locales induites par le contact sont essentiellement
3.2.2 Les contacts frictionnels
Un des aspects importants du contact frictionnel est le fait que les surfaces des deux
surface correspondants est si faible que ceux-ci interagissent par le biais de forces
attractives (interactions de van der Waals, parfois liaisons métalliques, ioniques, etc.)
attractives, (ii) le cisaillement des jonctions [ 3 ] . Notons toutefois que dans de nombreux
physico-chimique des surfaces par oxydation ou adsorption de polymères, usure des
surfaces, influence du fluide ambiant, etc.) et que le comportement microscopique est
alors bien plus complexe [4, 51.
glissement entre deux corps, alors les composantes normale et tangentielle de la force de
Chapitre 3 -Les suspensions dures
réaction (respectivement N et T ) sont proportionnelles (roulement avec glissement,
frottement glissant) :
avec f le coefficient de frottement coulombien, généralement compris entre 0, 1 et 0,5
la vitesse relative des surfaces solides au point de contact est nulle), alors la composante
tangentielle doit être inférieure à la composante normale (roulement sans glissement,
frottement adhérent) :
Dans ce cas, la force de frottement ( T )
conservation du moment cinétique (loi fondamentale de la dynamique des corps rigides).
la phase 1) le contact se forme, on observe essentiellement des déformations élastiques ou
adhésives se développent au niveau des zones en contact. La phase 3) correspond à la
Les formules ci-dessus sont des représentations très simplifiées des processus réels.
On peut ainsi se demander si le coefficient de frottement f est constant. De nombreuses
expériences ont été réalisées mais leurs conclusions sont contradictoires. Un phénomène
mouvement relatif se produit par saccades avec des alternances de phases de frottement
adhérent et de frottement glissant (stick-slip). I1 est donc très difficile de réaliser des
expériences à vitesse constante car il faut sans cesse réajuster la vitesse, ce qui induit des
effets inertiels perturbateurs des mesures [6]. Les recherches actuelles tendent à montrer
que les mécanismes intervenant dans le frottement sont complexes et dépendent de la
vitesse de glissement [7]. Dans le cadre de notre exposé, et compte tenu des gammes de
Rhéophysique des pâtes et des suspensions
vitesses et de forces rencontrées dans la plupart des écoulements naturels, il est suffisant
de supposer que la loi de Coulomb exprimée par les équations (3.1) et (3.2) reflète bien
les caractéristiques du frottement sec entre deux surfaces solides.
3.2.3 Les contacts collisionnels
Le contact collisionnel est un contact très bref, au cours duquel un certain nombre de
mécanismes plus ou moins complexes (déformation élastique, parfois plastique,
plus complexes.
3.2.3.1 Choc purement élastique
Considérons la collision de deux corps sphériques identiques (de rayon R ) sans vitesse
contact élastique de Hertz, on montre que le contact collisionnel implique une
déformation élastique de la surface des particules à proximité immédiate du point
phase de recouvrement (décompression). On peut déterminer la force instantanée de
réaction ( F ) entre les deux particules (de masse m ) en fonction de leur module élastique
initiale
Chupitre 3 - L e s suspensions dures
De plus on peut calculer la durée du contact :
3.2.3.2 Effets inertiels
La théorie ci-dessus correspond à une situation idéale. Une collision est en fait un
processus dynamique induisant une grande vitesse de déformation et donc des effets
matériau. La théorie ci-dessus suppose que ces ondes ont le temps de parcourir et de se
réfléchir plusieurs fois contre les surfaces de particules, ce qui implique que tout se
passe comme si elles étaient stationnaires et les effets inertiels sont négligeables. Dans le
quantité de mouvement, ce qui modifie les calculs précédents ci-dessus. Sachant que la
à 20 cm/s. Notons que ces calculs ne sont valables que pour des sphères isolées. Dès
3.2.3.3 Seuil de plasticité
Pour que le calcul effectué dans le cadre de la théorie de Hertz soit valable, il faut que les
déformations soient bien comprises dans le domaine élastique. En comparant la pression
maximale atteinte à la fin de la phase de compression et le seuil de plasticité Y , on
montre que les déformations restent élastiques tant que la vitesse avant impact est
inférieure à une valeur critique [SI :
Rhéophysique des pâtes et des suspensions
phase de compression et de ce fait, les vitesses initiale et finale ne sont plus égales en
introduit un coefficient dit de restitution ( e )
qui est lié aux dissipations plastiques :
Dans le cas de particules différentes, les vitesses relatives doivent être remplacées par les
multipliant la vitesse par 100 (par rapport à la vitesse critique donnée par (3.8)), celui-ci
varie de 1 à 0,32.
3.2.3.4 Rotation des particules
Comme on vient de le voir, la géométrie de contact la plus simple conduit à un résultat
également très simple (éq. 3 . 5 ) , mais qui cache déjà des mécanismes élémentaires
zones de contacts frottants adhérant et glissant au niveau de la surface de contact [ 10,
phénoménologiques ou empiriques (directement calées sur les expériences). Les lois
phénoménologiques, même les plus robustes [ 12-14], souffrent de petites lacunes ; elles
sont par exemple incapables de prédire les inversions de vitesse de rotation propre (un
des effets dont se servent les joueurs de tennis lors de renvois de balle liftée) observées
empiriques qui sont utilisées. Dans le modèle le plus couramment utilisé, celui de Maw
et al. [ 151, deux coefficients empiriques sont introduits : le coefficient de restitution
normale ( e ) utilisé dans une formulation analogue à (3.9) liant les vitesses avant et après