Analyse continue par ondelettes

Bruno Torrésani
Centre de Physique Théorique de Marseille (CNRS)
Analyse continue
par ondelettes
O 1995, InterEditions, 5, rue Laromiguière, 75005 Paris
pour tous pays.
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ISBN 2 7296 0591 6
ISBN 2 271 05364 1
SOMMAIRE
Préface
Introduction
Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Analyse continue par ondelettes et par gaborettes
Décomposition temps-fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
11.1 Les gaborettes en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 11
11.2 Un exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Le cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111.1 Décompositions continues en ondelettes . . . . . . . . . . 17
111.2 Quelques exemples simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Ondelettes multidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
IV.l Ondelettes radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Ondelettes engendrées par les translations, rotations et di-
Noyauxreproduisants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quelques remarques et compléments . . . . . . . . . . . . . . . 33
VI . 1 Analyses multirésolutions infinitésimales . . . . . . . . . . 33
VI.2 Quelques exemples singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . 34
VI1 Commentaires et références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V111.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sommaire
III Quelques exemples et illustrations
Le plan temps-fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aspect temps-échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Aspect temps-fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples bidimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Commentaires et références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Ondelettes et régularité globale et locale des fonctions
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Singularité et contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Convergence ponctuelle de la formule de reconstruction . . . . 64
Régularité holderienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.l Régularité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Régularité locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Auto-similarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V . l Mesures fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2 Fonctions fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Commentaires et références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V Applications : Approximations asymptotiques et analyse de
signaux modulés en amplitude et en fréquence
Signal analytique et transformation de Hilbert . . . . . . . . . 82
Analyse par ondelettes de lignes spectrales . . . . . . . . . . . . 85
11.2 Caractérisation de lignes spectrales . . . . . . . . . . . . . 88
III Signaux modulés en amplitude et en fréquence . . . . . . . . . 92
111.3 Les courbes-ondelette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.5 Une implémentation possible . . . . . . . . . . . . . . . . 97
111.6 Commentaires, développements . . . . . . . . . . . . . . . 99
Le cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.l Analyse de lignes spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
IV.2 Fréquences locales bidimensionnelles et texture . . . . . . 106
IV.3 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Commentaires et références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complément B : Approximations asymptotiques et phase sta-
tionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.l Développements asymptotiques : un exemple simple . . 112
VI.2 Méthode de la phase stationnaire : calcul des premiers
termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sommaire
tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorie élémentaire des repères dans un espace de Hilbert . . . 119
Repères de gaborettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Le phénomène de Balian-Low . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
111.2 Le théorème de Balian-Low . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Repères continus et généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . 132
V.l Repères continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI1 Commentaires et références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Représentations de carrés intégrables et états cohérents . . . . 140
11.2 Etats cohérents et transformation associée . . . . . . . . . 143
11.3 Retour aux représentations temps-fréquence . . . . . . . . 144
11.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Carré intégrabilité, modulo un sous-groupe et ondelettes associées151
111.1 Retour sur le groupe de Weyl-Heisenberg . . . . . . . . . 151
111.2 Ondelettes indexées par un espace homogène . . . . . . . 151
111.3 Atomes temps-fréquence : le groupe de Weyl-Heisenberg
affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espaces de phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.l Théorie de Kirillov et espace des phases . . . . . . . . . . 157
IV.2 Retour sur les exemples précédents . . . . . . . . . . . . . 158
IV.3 Les ondelettes multidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . 159
IV.4 Les gaborettes sur la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Commentaires et références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ComplémentC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.2 Le groupe euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI1 ComplémentD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.l Ondelettes sur les sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
VII.2 Identité approchée sur la sphère . . . . . . . . . . . . . . 175
VII.3 Le schéma bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sommaire
VI11 Algorithmes rapides de calcul de la transformée en on-
delettes
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ondelettes sur une grille dyadique . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.3 Codage en sous-bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Transformée en ondelettes sur grille dyadique . . . . . . . 189
11.5 Quelques exemples et commentaires . . . . . . . . . . . . 191
III Ondelettes sur grille régulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
111.1 Utilisation de QMFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.2 Pseudo-QMFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.3 Redondance en échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Le cas bidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.l Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Algorithmes approchés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Commentaires et références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complément E : Filtres pour ondelettes splines et LOG . . . . 208
VI.l Splines de base et ondelettes de Battle-Lemarié . . . . . . 208
VI.2 Filtres approchés pour ondelettes LOG . . . . . . . . . . . 212
Notionsdebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Continuité, différentiabilité, régularité . . . . . . . . . . . 217
Mesurabilité, intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Espaces fonctionnels et distributions . . . . . . . . . . . . . . . 220
11.1 Les espaces LP
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Quelques inégalités utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
11.4 Identité approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5 Fonctions de test et distributions . . . . . . . . . . . . . . 222
III Analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.1 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
111.2 Quelques propriétés (aide-mémoire) . . . . . . . . . . . . . 225
111.3 Transformation de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Eléments de théorie des groupes
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Notion de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Groupes et algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Mesure de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sommaire
IV.l Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.3 Représentation régulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Représentations induites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.l Espaces homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2 Représentations induites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
VI Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de côté ce que je faisais et, oubliant le temps qui passe, me suis abandonné à
la lecture. Bien évidemment je savais que mon plaisir serait à la hauteur de
mon admiration pour les travaux de B. Torrésani et de ses collaborateurs qui
la mécanique quantique. Ce point de vue est géométrique par opposition à
une approche algorithmique qui prit en 1985 le devant de la scène à la suite
des travaux de S. Mallat et I. Daubechies. Pour insister davantage, disons que
ambiant par une suite emboitée de réseaux (ou grilles) de plus en plus denses.
Ces réseaux, une fois choisis, imposent une pénible rigidité géométrique et vont,
calcul scientifique (méthodes multigrilles, etc.) sans utiliser ces grilles de plus
Fourier rapide) impose aussi de choisir de telles grilles. Ce divorce entre la
et sera donc la source de nouveaux progrès.
Préface
dra relier ces trois types de transformations géométriques dans une recherche
Un second point fort est la description précise et exacte du remarquable
ment du signal et les techniques utilisées classiquement étaient basées sur la
transformation de Wigner-Ville et ses généralisations. Une des plus belles
La présentation de cet algorithme par B. Torrésani est la meilleure dont nous
Une troisième nouveauté, présentée par B. Torrésani, est la construction
par rotation.
ture mirror filters) pour effectuer des calculs approchés mais rapides sur des
ondelettes non orthogonales.
écrit par I. Daubechies, et je crois que ces deux traités feront bon ménage sur
le bureau des scientifiques qui utilisent les ondelettes.
Le style de B. Torrésani est remarquablement clair et efficace et je suis
cours avancé sur les ondelettes et leurs applications.
Chapitre I
INTRODUCTION
senté de multiples façons, chacune de ces représentations permettant de mettre
est fourni par le signal de parole, dont des représentations temps-fréquence
différentes (par exemple une représentation en ondelettes et une représentation
de Gabor à bande étroite) conduisent à des interprétations différentes.
elle-même : on peut la présenter de divers points de vue, qui dépendent au-
aux ondelettes (et qui souvent avaient tout des ondelettes sauf le nom) étaient
couramment utilisées.
tendu arbitraire (les quatre classes ci-dessous ont une intersection non vide
elle permet de décrire les tendances générales.
teurs. Certaines propriétés de régularité des fonctions se trouvent mises
dont la formule de représentation en ondelettes peut être vue comme une
Introduction
sur un intervalle ou périodiques, ondelettes multidimensionnelles associées
travaux qui font suite aux travaux de Marr [22] (bien que celui-ci ne se soit
que très peu intéressé aux aspects purement algorithmiques) et ses col-
physiologistes de la vision aient eu, à la fin du siècle dernier, de semblables
richesse algorithmique des ondelettes, basées sur des opérations de dilata-
tion et translation très naturelles, y compris dans le cas de signaux définis
well [30] qui ont conduit à la construction des filtres miroir en quadra-
ture (QMF) et rejoignent la théorie des analyses multirésolution, puis
plus récemment aux algorithmes adaptatifs de décomposition en paquets
vent être représentés de façon économique ( i e . par des matrices creuses)
texte du traitement du signal. Suite aux travaux fondamentaux de J.
Ville [32] sur les représentations temps-fréquence des signaux, le sujet est
presque devenu une discipline scientifique à part entière. De nombreux
auteurs se sont particulièrement intéressés au problème de définition et
le livre de P. Flandrin [12]). Les ondelettes apparaissent dans ce contexte
pose maintenant des représentations temps-fréquence adaptatives : étant
donnée une famille de représentations temps-fréquence, comment choisir
[16], ou encore [27], dans lequel le lien avec les états cohérents de la
de symétrie des représentations en ondelettes, ce qui permet de donner