Méthodes fonctionnelles en mécanique quantique : une présentation simple

Le but de ce cours dispensé en DEA est d'esquisser, d'une manière pédagogique, les méthodes fonctionnelles (intégrales de chemins) en Mécanique Quantique. D'entrée de jeu, je commence par un rappel des fondements de la Mécanique Analytique et de la Mécanique Quantique. Ensuite, je rappelle la quantification par la méthode des "Intégrales de Chemins". Il s'agit d'une méthode plus élégante que la quantification canonique usuelle, qui se base sur la notion importante du propagateur. Parmi les vertus d'une telle méthode est qu'elle est à la base de l'approximation semi-classique de la Mécanique Quantique. Aussi, elle constitue le point de départ du formalisme fonctionnel de la Théorie quantique des Champs, qui mène aux techniques de perturbation par rapport à la constante de couplage et à la théorie de la renormalisation.

Nous nous proposons de passer en revue les différents formalismes de la Mécanique Classique. Nous insisterons sur les plus couramment utilisés, à savoir les formalismes de Newton, de Lagrange ou de Hamilton. Cela veut dire que nous ignorerons le formalisme de Hamilton-Jacobi, qui est basé sur l'action de Maupertuis. Nous signalons que ce dernier est également intéressant, surtout quand on veut évaluer les corrections semi classiques de la Mécanique Quantique.

Nous notons que tous ces formalismes sont équivalents pour la description de la physique. Le choix du formalisme adéquat est décrit par la nature du problème à étudier.