Formulations mathématiques et résolution numérique en mécanique

Les développements des méthodes numériques reposent en fait sur des procédures d'automatisation du calcul des structures derrière lesquelles se " cachent " quelques opérations algébriques. Le but de la première partie du cours est de mettre en évidence la structure algébrique des problèmes d'équilibre de milieux continus. Après quelques rappels de dualité et des propriétés des espaces intervenant en mécanique, nous montrerons que les méthodes d'approximation peuvent se décomposer en deux groupes : approximation des équations aux déplacements (résidus pondérés, équations intégrales) et approximation des équations aux déformations ou aux contraintes (méthodes d'éléments finis de type déplacements ou forces).

Une partie importante de la mécanique des milieux déformables concerne l'étude du comportement de milieux soumis à des sollicitations appliquées infiniment lentement avec l'hypothèse des petites perturbations (HPP). Dans ce cas, et quel que soit le comportement du milieu, on peut faire apparaître quelques propriétés algébriques, très utiles grâce à leur généralité, des espaces qui interviennent en mécanique des milieux continus. Définissons tout d'abord ces espaces et les notations qui seront utilisées par la suite [Wielgosz 99]. On considère un milieu continu ? de frontière ? ? et on note dS un élément de sa frontière. On note V l'espace vectoriel des champs de déplacements généralisés et ? celui des charges généralisées.

L'opérateur d'équilibre contient les conditions aux limites sur les forces par l'intermédiaire de la formule de Cauchy. Le sev des autocontraintes J, comme celui des déformations compatibles I, dépendra donc essentiellement des conditions aux limites (CL) sthéniques et cinématiques (par dualité).