Mécanique statistique et transitions de phase

Le chapitre suivant est consacré à l'étude du modèle d'Ising à une et à deux dimensions. A partir de la solution exacte de ce problème, sont introduits des concepts importants dans l'étude des transitions de phase : fonctions de corrélation, ordre à courte et à grande distance, symétries brisées, etc.

Ces idées sont discutées de façon plus générale dans le troisième chapitre. On y présente les aspects généraux des transitions de phase, en insistant sur l'importance des propriétés de symétrie. Puis, on présente la théorie de Landau des transitions de phase et les diverses formes de l'approximation de champ moyen. Le chapitre V est consacré à un aperçu sur les phénomènes critiques des transitions de phase et une introduction succincte à un traitement au-delà du champ moyen.

Après le premier volume consacré à la théorie générale des transitions de phase, les volumes suivants exposent une étude plus détaillée de systèmes particuliers, essentiellement dans l'approximation du champ moyen. Si l'on commence par un aperçu sur les cristaux liquides, les polymères, la percolation, le reste du cours sera consacré aux transitions de phase électroniques. Ce choix se justifie par l'importance historique et conceptuelle du sujet : on n'imagine pas un cours de physique des solides qui ignorerait le magnétisme des métaux ou la supraconductivité. Toutefois, même si les recherches actuelles en ces domaines restent vivantes et importantes, la physique des solides "traditionnelle" s'est beaucoup diversifiée et enrichie d'activités nouvelles, orientées, par exemple, vers l'étude de systèmes désordonnés ou de ce qu'il est convenu d'appeler la "matière molle". On trouvera dans d'autres cours du DEA (Structure atomique de la matière condensée, Physique de la matière molle, Physique de la matière désordonnée) bien d'autres exemples d'études de transitions de phase que ceux abordés dans les trois volumes de ce cours.

La matière condensée se définit par la propriété qu'un très grand nombre de particules interagissent entre elles fortement. Il n'est pas possible d'ignorer ces interactions ou de les considérer comme une petite perturbation, comme on pourrait le faire dans les milieux dilués. Pour définir des quantités macroscopiques, comme l'énergie libre, l'entropie ou la chaleur spécifique, il faut, bien sûr, faire appel à la mécanique statistique, mais ceci n'est pas spécifique de la matière condensée. Ce qui est spécifique, c'est qu'un nombre macroscopique de degrés de liberté sont fortement couplés. C'est ce qu'on appelle le problème à N corps. Nous verrons, dans tout ce cours, que l'approximation la plus simple de ce problème consiste à négliger les corrélations entre particules et à les traiter comme indépendantes. Nous verrons que ces méthodes de champ moyen ne sont pas aussi brutales et grossières qu'on pourrait le supposer a priori, mais qu'elles s'avèrent, souvent, un outil simple et efficace. Notre premier objectif, dans ce chapitre, sera d'exposer (ou de rappeler) les méthodes de la mécanique statistique élémentaire. En fait, il existe de nombreuses façons d'introduire la mécanique statistique. Celle qui est choisie ici n'est certainement pas la plus parlante ni la plus physique. Elle a le mérite de la concision, mais doit évidemment être explicitée par de nombreux exemples d'applications concrètes. Ceux-ci ne seront pas exposés dans le cadre de ce cours, conçu comme un rappel.

Un état parfaitement connu est caractérisé en Mécanique Classique par la donnée des positions et des impulsions des N particules (qi, pi), en Mécanique Quantique par un vecteur de l'espace de Hilbert ??>. En Mécanique Statistique, les états sont imparfaitement connus, d'où la nécessité d'un nouveau formalisme.

Dans la pratique, il arrive fréquemment que la préparation ne soit pas complète: on ne mesure pas simultanément un ensemble complet de variables dynamiques compatibles. Dans ce cas, la fonction d'onde du système n'est pas complètement déterminée : l'état du système est un mélange.