Groupe de renormalisation appliqué aux équations de réaction-diffusion

La question à laquelle nous sommes intéressés, maintenant, est comment la fonction P (t, x) change, lorsque t évolue et la position x varie. La population peut changer de deux manières : une est que les particules individuelles peuvent bouger dans leur domaine ; et la deuxième est qu'elles peuvent donner naissance à de nouveaux individus, ou tuer les individus existants, à cause des raisons physiques, chimique ou biologique. On modélisera ces deux différents phénomènes séparément.

raisons d'immigration humaine peuvent être pour chercher une vie descente, pour chercher un travail meilleur, pour une raison politique, ou pour une raison religieuse. Généralement, la population se déplacent des régions où la densité de population est la plus grande à des régions ou cette densité est la plus faible. Cela est similaire à plusieurs phénomènes physiques, comme le transfert de chaleur (de l'endroit le plus chaud à l'endroit le plus froid), ou une dilution chimique dans l'eau. Ce fait nous rappelle le proverbe chinois : Le peuple monte vers le haut et l'eau coule vers le bas.

Le mouvement de P (x, t) est appelé "flux de densité de population", qui est un vecteur. Le principe du "haut vers le bas" signifie que le flux pointe dans la direction de la décroissance rapide de P (x, t), qui est le gradient négatif de P (x, t).

D'un autre côté, le nombre d'individus en n'importe quel point peut changer, à cause d'autres raisons, comme la naissance, la mort, la chasse, ou les réactions chimiques. L'on suppose que le taux de changement de la fonction densité dû à ces raisons est f (t, x, P ), appelé "taux de réaction". Maintenant, le but est d'obtenir une équation différentielle en utilisant la "loi de balance".

La diffusion est un processus long résultant de petits mouvements des molécules, alors que l'advection est un processus court. Comme exemple, considérons un liquide renfermant des polluons, de concentration c (??r , t). Soit ??V la vitesse d'écoulement du liquide. Il est facile de voir que c (??r , t) satisfait l'équation différentielle parabolique