Dynamique non linéaire et chaos

La convection naturelle repond a un mecanisme tres intuitif. Lorsqu'un fluide au repos est chauffe par le bas, la densite augmente quand on s'´eleve dans le fluide: cette situation est potentiellement instable, car dans le champ de pesanteur, la tendance naturelle est de mettre le lourd en bas et le l´eger en haut. Cette redistribution se traduit par l'apparition d'une circulation sous forme de rouleaux de convection. De facon plus precise, considerons une bulle de fluide a` une certaine altitude dans la couche et admettons qu'elle subisse une fluctuation de temperature ? > 0. Elle se trouve alors plus l´egere que son environnement et tend a` s'´elever. Ce faisant, elle rencontre du fluide plus froid donc plus lourd. La difference de densit´e s'accentue et la bulle accelere sous l'effet de cette poussee d'Archimede diff´erentielle (cf. Fig. 1.1). Pour que ce mouvement se produise effectivement, il faut que la bulle ne soit pas trop frein´ee par le frottement visqueux et que la diff´erence de temp´erature se maintienne. On assiste donc a` une comp´etition entre un m´ecanisme d'amplification de la perturbation et un m´ecanisme d'amortissement combinant les effets de viscosit´e et de diffusion de chaleur. Si l'´ecart de temp´erature â??T appliqu´e entre la plaque chaude et la plaque froide est trop petit, l'acc´el´eration vers le haut est faible et les processus dissipatifs l'emportent. La couche retourne a` son ´etat de base. Quand l'´ecart de temp´erature augmente, le m´ecanisme d´estabilisant augmente d'intensit´e. Il finit par l'emporter au del`a d'un ´ecart critique â??Tc appel´e seuil de convection. On peut naturellement transposer le raisonnement au cas d'une fluctuation de temp´erature n´egative qui induirait un accroissement de densit´e faisant plonger une bulle plus froide que son environnement originel. Une circulation apparaË??t ainsi dans la couche initialement au repos, circulation sous forme d'une alternance de r´egions ou` le fluide monte et descend. L'exp´erience montre (et la th´eorie justifie) que, suffisamment pr`es du seuil, cette circulation s'organise en rouleaux de longueur d'onde ? de l'ordre de 2h, h repr´esentant la hauteur de la couche fluide sur laquelle on pratique l'exp´erience. De plus, cette circulation est sensiblement ind´ependante du temps.