Théorie ergodique et systèmes dynamiques

Le cours était composé de douze séances de deux heures chacune ; il m'a paru judicieux de focaliser chaque séance sur un concept particulier et de faire en sorte que les différentes séances soient largement indépendantes entre elles. De fait, le matériel présenté est à l'intersection de théories mathématiques très diverses et l'auditoire intéressé par le sujet est souvent composé d'étudiants et de chercheurs d'horizons très différents : probabilistes, dynamiciens, géomètres, physiciens, etc.

Chaque chapitre commence par une présentation informelle des concepts et des problèmes que l'on cherche à résoudre. Viennent ensuite les définitions rigoureuses et les démonstrations, que l'on a cherché à illustrer par des exemples à la fois simples et pertinents. Les figures forgent l'intuition du lecteur tandis que les exercices lui permettent de tester sa compréhension du sujet. Il m'a semblé intéressant de rajouter quelques commentaires à la fin de chaque chapitre, afin de remettre le matériel étudié dans son contexte historique, présenter quelques problèmes actuels et orienter le lecteur dans la littérature, en fonction de ses intérêts propres. Ces commentaires sont plutôt destinés à une seconde lecture et supposent une certaine maîtrise des concepts présentés dans ce livre.

Théorie ergodique et systèmes dynamiques sont deux théories qui vont très bien ensemble. La première apporte à la seconde ses résultats quantitatifs les plus remarquables, tandis que la seconde est une pourvoyeuse infatigable d'exemples prompts à infirmer les conjectures les plus chères à la première. Toutes deux nées au début du vingtième siècle, au moins d'un point de vue mathématique et moderne, sous la houlette d'un des géants du siècle, Henri Poincaré (1854?1912), elles ont connu un développement soutenu jusqu'à aujourd'hui. Les ouvrages qui prétendent rendre compte d'une part non négligeable de ces théories sont susceptibles, de par leur taille et leur style, d'effrayer même les étudiants les plus motivés.