Mathématiques et statistique pour les sciences de la nature

Le deuxième objectif de ce livre consiste à faire comprendre les concepts et les outils mathématiques introduits dans la première étape de modélisation. Il n'était pas question de produire un traité de mathématiques abstraites, mais nous pensons néanmoins qu'un usage efficace des mathématiques n'est possible que s'il s'accompagne d'une compréhension suffisamment profonde des concepts qui les sous-tendent. Sans cette dernière, l'esprit reste prisonnier de la technique et est incapable de s'en libérer lorsque le domaine d'application ou les circonstances l'exigent.

L'objectif final de l'ouvrage, enfin, réside dans l'application des concepts et des outils ou, en d'autres termes, dans la mise en action du modèle mathématique. Ce retour à l'origine des problèmes est évidemment indispensable. Il permet d'abord de tester la précision du modèle, d'en déterminer le domaine de validité et, une fois ces points établis, d'agir, de prévoir ou de prendre des décisions, justifiant ainsi tout le travail accompli.

Les thèmes abordés dans le livre recouvrent l'essentiel des mathématiques enseignées aux étudiants de sciences de la nature et de la vie lors des trois premières années des études universitaires : bases de l'analyse des fonctions de une et plusieurs variables, probabilités élémentaires, concepts et outils statistiques, et introduction aux systèmes dynamiques. Ce contenu n'a évidemment rien de nouveau, l'originalité que nous réclamons résidant dans la volonté de rassembler en un seul ouvrage l'ensemble de ces notions mathématiques. Lorsqu'il était dispensé à Montpellier, cet enseignement était divisé en quatre cours répartis sur les cinq premiers semestres de la licence, chaque cours comptant une cinquantaine d'heures composées d'enseignement magistraux et de travaux dirigés.

La première partie du livre(1), intitulée " Bases ", peut être pensée comme le bagage mathématique minimal que devraient posséder les étudiants à l'issue d'une première année d'études universitaires. Elle s'ouvre par un chapitre consacré à l'étude des fonctions d'une variable réelle, où l'on revient sur des connaissances déjà bien balisées au lycée. Lui succède un chapitre plus court dévolu aux fonctions de plusieurs variables, qui débute sur des considérations élémentaires (surfaces graphe, lignes de niveau, dérivées partielles...) et se conclut par une introduction à des notions mathématiques plus élaborées utilisées en modélisation thermodynamique. Le calcul des probabilités et ses applications constituent le corps du troisième chapitre. Cette première partie se referme par un chapitre d'une nature plus descriptive, dédié aux relations délicates et malheureusement pas toujours bien comprises entre probabilités et statistique.

La " Statistique " est au coeur de la deuxième partie de l'ouvrage, qui porte d'ailleurs ce titre. Cette partie expose la démarche, les principaux concepts et les outils essentiels de l'approche inférentielle : estimation ponctuelle et par intervalle, tests paramétriques et non paramétriques, et enfin corrélation, régression et introduction à l'analyse de variance. La statistique inférentielle n'a d'autre objectif que de transporter des résultats numériques obtenus sur un échantillon à la population entière dont ce dernier est issu. Il s'agit d'un domaine essentiel des mathématiques appliquées, et nous avons souhaité en faire une présentation rigoureuse mais sans formalisme excessif, s'appuyant sur de nombreuses applications.

La troisième partie est consacrée aux " Systèmes Dynamiques ", appellation que nous avons préférée à celle, plus réductrice, d'équations différentielles. Le fil directeur consiste ici à modéliser des phénomènes dépendant du temps de manière déterministe, c'est-à-dire ne laissant pas de place à l'aléatoire. Un premier chapitre présente quelques éléments d'étude des équations différentielles, pour la plupart déjà abordés dans le secondaire mais qu'il est bon de se remémorer (avec peut-être un éclairage nouveau), tant ces équations sont indispensables pour modéliser de nombreux phénomènes naturels. Le chapitre suivant introduit les bases du calcul matriciel, partant de considérations assez simples sur les systèmes linéaires pour aboutir au concept de diagonalisation, indispensable à l'analyse de systèmes dynamiques en temps discret (décrivant par exemple des phénomènes dont l'évolution est annuelle ou saisonnière). Le dernier chapitre de cette partie est un mariage entre équations différentielles et calcul matriciel, thèmes des deux développements précédents ; il a pour objet les systèmes d'équations différentielles, qui jouent eux aussi un rôle important dans la modélisation de nombreux phénomènes dynamiques complexes.