Introduction aux variétés différentielles

Publié par : EDP Sciences

Ouvrage de base proposant des exercices pour l'étudiant de maîtrise, de DEA ou d'agrégation de mathématiques, l'enseignant des lycées et des classes préparatoires aux grandes écoles ou le chercheur.


Consulter un extrait ci-dessous
INTRODUCTION AUX
VARIETES DIFFERENTIELLES
Get ouvrage a ete public avec le concours :
du Ministere de 1'education Rationale,
de 1'enseignement superieur et de la recherche
Direction de I'lnformation scientifique et technique et des bibliotheques
1, rue Descartes, 75231 Paris Cedex 05
de la Region Rhone - Alpes
de la Ville de Grenoble
Realisation et mise en pages, Societe LASERTEX, Micropolis, Gap
Centre technique Grenoble Sciences
ISBN 2.7061.0654.9
Copyright: Presses Universitaires de Grenoble
B.P. 47X - 38040 Grenoble Cedex
INTRODUCTION AUX
VARIETES DIFFERENTIELLES
Jacques LAFONTAINE
Presses Universitaires de Grenoble
La Collection Grenoble Sciences
La Collection Grenoble Sciences fut creee a 1'Universite Joseph Fourier avec un triple
objectif:
leurs auteurs,
ouvrages realises par rapport a tel ou tel programme plus ou moins officiel.
Certains documents sont publics dans le seul cadre de 1'Universite Joseph Fourier.
D'autres, destines a un plus vaste public, sont selectionnes par des referees, critiques
par un comite de lecture et edites dans cette collection specifique des Presses
Universitaires de Grenoble.
Directeur de la Collection Grenoble Sciences
Jean BORNAREL, Professeur a 1'Universite Joseph Fourier - Grenoble 1
Comite de lecture de Introduction aux varietes differentielles :
P. AVERBUCH, Directeur de recherches au CNRS - Physique - Grenoble
P. BERARD, Professeur a 1'Universite Joseph Fourier - Grenoble 1
Expert a la Mission scientifique et technique
G. MEIGNIEZ, Maitre de conferences a 1'Universite Claude Bernard - Lyon 1
J.Y. MERINDOL, Professeur a 1'Universite Louis Pasteur - Strasbourg 1
Deja parus :
Chimie. Le minimum vital - J. Le Coarer
Mathematiques pour les sciences de la nature et de la vie - F. et J.P. Bertrandias
Endocrinologie. Fondements physiologiques - S. Idelman
Minimum competence in scientific English - J. Upjohn, S. Blattes et V. Jans
Analyse numerique et equations differentielles - J.P. Demailly
Introduction a la Mecanique statistique - E. Belorizky et W. Gorecki
Exercices corriges d'Analyse (tomes 1 et 2) - D. Alibert
Bacteries et environnement. Adaptations physiologiques - J. Pelmont
La plongee sous-marine a 1'air. L'adaptation de 1'organisme et ses limites - P. Foster
Listening comprehension for scientific English - J. Upjohn
Electrochimie des solides - C. Deportes et al.
La Turbulence - M. Lesieur
Exercices et problemes corriges de Mecanique statistique - E. Belorizky et W. Gorecki
La symetrie en mathematiques, physique et chimie - J. Sivardiere
La cavitation. Mecanismes physiques et aspects industriels - J.P. Franc et al.
L'Asie, source de sciences et de techniques - M. Soutif
L'ergomotricite. Le corps, le travail et la sante - M. Gendrier
Enzymes, catalyseurs du monde vivant - J. Pelmont
Pour David
Cette page est laissée intentionnellement en blanc.
INTRODUCTION
C'est a ce coup que Fontanet eut une troisieme conception. II s'ecria :
- Composons une Histoire de France, avec tous les details, en cinquante volumes.
Cette proposition m'enchanta, et je Paccueillis avec des battements de mains et
des cris de joie...
On nous envoya coucher. Mais je restai bien un quart d'heure dans mon lit
sans dormir, tant j'etais agite par la pensee sublime d'une Histoire de France en
cinquante volumes, avec tous les details.
Nous la commengames, cette histoire. Je ne sais, ma foi, plus pourquoi nous la
commengames par le roi Teutobochus. Mais telle etait 1 'exigence de noire plan.
Notre premier chapitre nous mit en presence du roi Teutobochus, qui etait haut
de trente pieds, comme on put s'en assurer en mesurant ses ossements, retrouves
par hasard *
Des le premier pas, affronter un tel geant! Fontanet lui-meme en fut etonne.
- II faut sauter par-dessus Teutobochus, me dit-il.
Je n 'osai point.
L'Histoire de France en cinquante volumes s'arreta a Teutobochus.
(Anatole France, Le Livre de mon ami).
Cette charmante legon de methodologie s'applique fort bien ail sujet de ce livre. Au
lecteur de juger du parti que j'en ai tire. Les premiers pas de la theorie des varietes
peuvent, si 1'on veut suivre 1'exemple de Fontanet, donner lieu a des developpements
redoutables. On risque d'etre rebute par le sujet avant de s'apercevoir que les vraies
difficultes sont ailleurs.
Les varietes differentielles sont la generalisation naturelle des courbes et des surfaces.
La notion de variete apparait pour la premiere fois (sans explications!) dans la legon
inaugurale de Riemann, en 1851, et lui permet de donner une solution satisfaisante au
probleme du prolongement analytique des fonctions holomorphes.
II faut attendre un bon demi-siecle pour qu'une definition precise se degage. II s'agit
de concevoir non pas des parties d'un espace IRn, avec n grand, definies par un
certain nombre d'equations, mais d'une fagon plus abstraite des objets - a priori non
plonges dans 1'espace "ordinaire" de dimension n, - pour lesquels la notion de fonction
differentiable ait un sens.
Les raisons pour s'interesser a de "grandes" dimensions sont nombreuses. L'une des
plus evidentes vient peut-etre de la mecanique classique. L'espace des configurations
d'un systeme articule depend vite de plus de trois parametres : il en faut deja six pour
* Le lecteur qui mettrait en doute 1'existence de Teutobochus est invite a lire
8 INTRODUCTION AUX VARIETES DIFFERENTIELLES
Le fait qu'il ne soit pas toujours souhaitable de considerer les objets etudies comrne des
parties de lRn est plus cache. Par exemple 1'ensemble des directions de 1'espace usuel
depend de deux parametres reels. C'est de fagon naturelle une variete de dimension
deux, appelee le plan projectif. II admet certes de nombreuses realisations comme sous-
espace d'un espace euclidien. Mais ces realisations ne sautent pas aux yeux, et il n'est
pas evident non plus d'en trouver une qui soit plus "naturelle" que les autres.
Et dans bien des cas, comme celui des systemes articules, ou cette realisation est
evidente, on ne 1'utilise que relativement peu.
Ces varietes "abstraites" fournissent le cadre mathematique naturel de la mecanique
classique (espace des configurations et espace des phases), mais aussi de la relativite
generale et de la theorie des particules elementaires.
J'ai voulu ecrire un texte qui, tout en restant elementaire, aborde les varietes le plus
directement possible, en s'interessant principalement a leurs proprietes topologiques.
De ce point de vue, une sphere etiree et/ou bosselee reste une sphere, et meme dans
le cadre des courbes et des surfaces, on s'interesse aux proprietes topologiques ou
differentielles, et non aux proprietes metriques (longueur, courbure, etc.).
II suffit au lecteur d'une bonne connaissance des bases du calcul differentiel, et d'un
peu de topologie dite "generale". Toutefois, quelques remarques, encadrees par le
signe ** font appel a des connaissances plus elaborees. J'ai juge utile de commencer
par un premier chapitre comprenant surtout des rappels, exposes de fagon a pouvoir
s'appliquer directement aux varietes.
Les varietes proprement dites sont ab or dees aux deuxieme et troisieme chapitres. J'ai
essaye de donner le plus vite possible des exemples et des resultats significatifs.
Une classe d'exemples - les groupes de Lie et leurs espaces homogenes - m'a paru
largement meriter un chapitre pour elle-meme. Enfin, les trois derniers chapitres sont
consacres aux formes differentielles et au parti qu'on peut en tirer pour comprendre la
topologie des varietes. Chaque chapitre depend des precedents, a une exception pres :
si les groupes de Lie (chapitre IV) interviennent dans les chapitres qui suivent, c'est
seulement a titre d'exemples et a 1'occasion d'exercices.
Chaque chapitre commence par une introduction qui donne quelques motivations, et se
termine par une section intitulee "Commentaires" ou les prolongements possibles des
sujets abordes sont brievement evoques.
Comme je 1'ai explique plus haut, j'ai pris le parti de me limiter pour 1'essentiel aux
structures differentielles. L'aspect metrique n'est aborde que tres occasionnellement, et
uniquement dans le cas des sous-varietes de 1'espace euclidien, 1'aspect symplectique
pas du tout. Je me suis un peu rattrape dans les sections de "Commentaires", et dans
la bibliographic commentee qui accompagne ce texte.
Les nombreux exercices (une centaine) sont pour la plupart faciles. Ceux qui sont
indiques par une etoile sont un peu plus delicats pour les debutants. Ceux qui portent
deux etoiles ne sont pas forcement techniques, mais plutot du style "il fallait y penser".
Beaucoup peuvent etre considered comme des complements de cours. C'est pourquoi
j'ai fait figurer de nombreuses indications sur leur solution.
Durant les quelques annees ou j'ai assure le cours de geometrie differentielle a Mont-
pellier, j'ai beneficie d'un public particulierement agreable, exigeant et attentif, ne
menageant pas les questions. Son attitude m'a vivement encourage au moment ou je
preparais les notes qui ont constitue la premiere mouture de ce livre.
INTRODUCTION AUX VARIETES DIFFERENTIELLES 9
Certains exercices m'ont ete obligeamment communiques par Ngo-Van-Que et Claude
Albert; j'ai beneficie aussi des critiques constructives de Mireille Pierrot, et d'Oussama
Hijazi.
Une fois ce cours soumis a la Collection Grenoble Sciences, j'ai profite des tres
nombreuses remarques et des suggestions stimulantes des membres du comite de lecture,
portant sur le fond comme sur les details. Malgre la diversite des horizons scientifiques
et des temperaments de ces collegues, je ne me suis jamais trouve dans la situation du
meunier cher a mon homonyme.
Un grand merci egalement a Sylvie Bordage pour les dessins.
Last, not least, j'ai ete profondement influence par mon maitre Marcel Berger.
Cette page est laissée intentionnellement en blanc.
SOMMAIRE
Notations
I. Calcul differentiel
A. Differentielles
B. Theoreme des fonctions composees
C. Theoreme d'inversion locale
D. Sous-varietes de IRn
E. Application aux sous-groupes du groupe lineaire
F. Points critiques ; valeurs critiques
G. Commentaires
Exercices
II Notions de base sur les varietes
A. Cartes, atlas
B. Applications differentiates; diffeomorphismes
C. Le theoreme de d'Alembert
D. Les espaces projectifs
E. L'espace vectoriel tangent
F. Revetements
G. Denombrabilite a I'infmi
H. Commentaires
Exercices
III. Du local au global
A. Fonctions plateau ; plongements de varietes
B. Derivations
C. Image d'un champ de vecteurs; crochet
D. Le fibre tangent
E. Le flot d'un champ de vecteurs
F. Champs de vecteurs dependant du temps
G. Varietes de dimension un
H. Commentaires
Exercices
12 INTRODUCTION AUX VARIETES DIFFERENTIELLES
IV. Autour des groupes de Lie
A. Champs invariants a gauche
B. L'algebre de Lie d'un groupe de Lie
C. Digression sur les groupes topologiques
D. Groupes de Lie commutatifs
E. Espaces homogenes
F. Commentaires
Exercices
V. Formes differentielles
A. Algebre tensorielle
B. Formes differentielles sur un ouvert de 1'espace euclidien
C. Differentielle des formes
D. Produit interieur, derivee de Lie
E. Le lemme de Poincare
F. Formes differentielles sur les varietes
G. Equations de Maxwell
H. Commentaires
Exercices
VI. Integration et applications
A. Orientation : des espaces vectoriels aux varietes
B. Integration sur une variete; application aux champs de vecteurs sur les spheres 203
C. Theoreme de Stokes
D. Forme volume canonique d'une sous- variete de 1'espace euclidien
E. Le theoreme du point fixe de Brouwer
F. Commentaires
Exercices
VII. Cohomologie et theorie du degre
A. Cohomologie de de Rham
B. Cohomologie en degre maximum
C. Degre d'une application
D. Retour sur le theoreme de d'Alembert
E. Enlacement de deux courbes de 1'espace euclidien de dimension trois . . .
F. Invariance par homotopie
G. Suite exacte de Mayer- Vietoris
H. Methodes integrates
K. Commentaires
Exercices
Solutions d'exercices et indications
Bibliographic
NOTATIONS
representation adjointe
fonctions de classe Ck sur M
fonctions lisses sur M
sections du fibre vectoriel E
champs de vecteurs sur la variete M
degre d'une application /
dimension
distance
divergence
espace dual de 1'espace vectoriel E
enlacement de deux courbes C et C'
differentielle exterieure
bord du domaine D
derivation par rapport a x1
image directe par 1' application /
image reciproque par 1'application /
germes de fonctions en m
composante neutre du groupe de Lie G
algebre de Lie du groupe de Lie G
corps des quaternions
espace de cohomologie de degre p
application inverse dans un groupe
produit interieur par le champ X
translation a gauche par g
derivee de Lie
vecteur am
espace de Minkowski
somme connexe des varietes MI et M2
fibre normal a la variete M
groupe orthogonal
groupe pseudo-orthogonal
formes differentielles de degre p sur M
formes differentielles sur M
formes differentielles sur M a support compact
espace projectif complexe
espace projectif reel
flot du champ de vecteurs X
translation a droite par g
rotationnel
sphere de dimension n
groupe des matrices de determinant 1
Publier sur Facebook Publier sur Twitter
Informations
Date :

05/12/2011


Langue :

Français


Pages :

200


Consultations :

5573


Note :
Format :

PDF / EPUB


Télécharger l'EBOOK
  • Prix : 24.99€

  • Votre email n'est pas valide

    Vous devez valider les conditions de vente

    J'accepte les conditions de vente

100 % Compatible
Paiement 100 % sécurisé
Résumé

Auteur : Lafontaine Jacques


Editeur : EDP Sciences


Parution : 1996

ISBN : 9782759801206

Tags : Ebook sciences, ebook scientifique, variétés différentielles
Sur le même thème
Vues : 3182

Mathématiques en MPSI, problèmes basiques. http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

Vues : 3045

Mathématiques en MPSI, problèmes d'approfondissement. http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

Vues : 2437

Exercices originaux accompagnés par leurs corrigés, cet ouvrage s'adresse principalement aux étudiants de licence de...

Vues : 2173

L'auteur a fait sienne cette universelle maxime chinoise : « j'entends et j'oublie (cours oral) je vois et je retiens (étude...

Vues : 1066

Mathématiques en MPSI, problèmes d'automne. http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

Vues : 1017

Pour qui souhaite découvrir des concepts mathématiques indispensables à la modélisation des phénomènes naturels, ce livre...

Du même contributeur
Vues : 3952

Livre scientifique de base essentiel pour le chercheur et l'ingénieur, Physique des diélectriques fournit les fondements...

Vues : 2967

Les exercices corrigés proposés dans ce livre portent sur les thèmes suivants: -les propriétés atomiques et moléculaires...

Vues : 2892

The history of Physics in Europe is one of brilliance and the sun is still shining, indeed it is getting ever brighter,...

Vues : 2039

Les émissions de rayonnements caractéristiques, spontanés ou provoqués permettent la détection et la caractérisation d'un...

Vues : 1972

Dans cet ouvrage, il est fait une présentation des hétérocycles suivants : aziridine, azétidine, pyrrole, pyridine, indole,...

Vues : 1697

Chaque année, près de 530 000 enfants naissent de mères ayant eu une activité professionnelle durant leur grossesse et la...

Commentaires
Aucun commentaire pour cette publication
Ajouter un commentaire
Envoyer
Pour envoyer la page de votre document, notez ici les emails destinataires de votre demande :
Séparez les emails par des virgules
Signaler un abus
Vous devez vous connecter ou vous inscrire pour noter un document.
Cliquez ici pour vous inscrire.
Vous devez vous connecter ou vous inscrire pour ajouter un commentaire.
Cliquez ici pour vous inscrire.
Vous devez vous connecter ou vous inscrire pour envoyer le document.
Cliquez ici pour vous inscrire.
Vous ne pouvez pas acheter de documents sur Needocs.
Vous pouvez vous référer aux conditions générales de vente et d'achat du portail pour connaître les modalités d'achat.