Intégrales singulières

Pour le physicien mathématicien, il y a des raisons profondes à ces structures holomorphes de la théorie quantique des champs, lesquelles sont inhérentes aux grands principes de la physique quantique relativiste : causalité d'Einstein, invariance par le groupe de Poincaré, positivité de l'énergie, conservation de la probabilité ou " unitarité " etc. Cependant, c'est dans l'approche appelée " théorie des perturbations " de la théorie quantique des champs (approche dont le rapport à la théorie des champs " complète " ou " non-perturbative " est comparable à celle des séries formelles par rapport à l'étude des séries convergentes) que les structures holomorphes génératrices de singularités de Landau apparaissent sous leurs formes

Ce fut le mérite de Frédéric Pham, alors qu'il était un jeune physicien dans le Service de Physique Théorique de Saclay, d'avoir entrepris une étude systématique de ces structures mathématiques en s'appuyant notamment sur les notions développées par J. Leray dans son calcul des résidus à plusieurs variables conjointement avec le théorème d'isotopie de R. Thom. Avec son aboutissement que constituent les formules de Picard-Lefschetz, cette étude fondamentale des singularités des intégrales se situe aux confins de l'analyse et de la géométrie algébrique. Publiée en 1967 dans le Mémorial des Sciences Mathématiques (Éditeur Gauthier-Villars), elle fut suivie d'un second ouvrage en 1974 (fruit d'un cours donné à Hanoï) où les mêmes structures, enrichies par les travaux de Nilsson, sont aussi abordées par des méthodes d'équations différentielles et généralisées sous l'angle de la théorie des hyperfonctions et de l'analyse microlocale.

Une réédition de ces textes nous paraît pouvoir jouer un rôle extrêmement utile, non seulement pour le mathématicien par l'importance de son contenu et la diversité des points de vue adoptés, mais aussi pour le physicien théoricien si l'on pense notamment aux grands problèmes de fond de la théorie quantique des champs et des particules, encore non résolus à ce jour.

Concernant ce type de structure, des problèmes extrêmement ardus restent encore ouverts dans les cas d'importance physique considérable où des particules de masse nulle participent aux collisions. Le type d'analyse que nous venons de décrire concerne (pour les cas de singularités ne mettant en jeu que des particules massives) des propriétés de la théorie des champs que l'on peut considérer comme indépendantes d'une autre catégorie de problèmes, d'importance cruciale, appelés " problèmes de renormalisation ". Ces derniers, apparaissant au niveau perturbatif sous la forme d'une nécessaire redéfinition d'intégrales de Feynman primitivement divergentes, ont été en fait éclairés sous un jour nouveau par les travaux récents

Cette " difficulté existentielle ", exhibée dès 1960 par Landau pour le cas de l'électrodynamique quantique dans la resommation de séries perturbatives renormalisées a pu être également présentée à un niveau plus général pour la théorie de champ scalaire la plus simple avec interaction quartique : le phénomène consiste en la production " générique ", due à la renormalisation, de pôles (et autres singularités de Landau) dans une région de l'espace complexe où de telles singularités sont interdites par les grands principes. En fait la faille existentielle de ces modèles apparaît comme reliée de façon profonde à l'absence d'une propriété importante des fonctions de structure des champs à très hautes énergies, appelée " liberté asymptotique ".