Calcul intégral (L3M1)

Publié par : EDP Sciences

Cet ouvrage traite du calcul intégral, outil essentiel de l'analyse mathématique et du calcul des probabilités. L'ouvrage est découpé en 11 chapitres : Mesure et intégrale, Mesure de Lebesgue, Espaces Lp, Intégration sur un espace produit, Intégration sur Rn, Mesures de Lebesgue- Stieltjes, Fonctions définies par des intégrales, Convolution, Transformation de Fourier, Séries de Fourier, Applications et compléments.


Consulter un extrait ci-dessous

Dans le cas de l'intégrale de Riemann, les fonctions étagées considérées sont les fonctions en escalier. En revanche, dans le cas de l'intégrale de Lebesgue, ce sont des fonctions étagées d'un type plus général : les fonctions mesurables étagées. Cette généralisation est essentielle car elle conduit aux énoncés fondamentaux de la théorie de l'intégration comme le théorème de convergence dominée de Lebesgue et celui de Riesz-Fischer, qui n'ont pas d'analogue dans le cas de l'intégrale de Riemann.


La présentation que nous avons choisie des éléments de base de la théorie de la mesure et de l'intégrale est proche de celle de l'excellent ouvrage de W. Rudin, Analyse réelle et complexe. Le chapitre I est une présentation ensembliste aboutissant aux théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée de Lebesgue. C'est au chapitre II qu'il est montré qu'il existe une mesure sur la droite réelle pour laquelle la mesure d'un intervalle est égale à sa longueur. Les espaces fonctionnels Lp sont étudiés au chapitre III. Le théorème de Riesz-Fischer dit que ce sont des espaces normés complets, et ce résultat est fondamental pour les applications à l'analyse fonctionnelle. Le théorème de Fubini que nous voyons au chapitre IV permet le calcul des intégrales multiples considérées au chapitre V.


Dans la présentation fonctionnelle de la théorie de l'intégration, la définition de base est la mesure de Radon qui est une forme linéaire positive sur l'espace des fonctions continues à support compact. Le théorème de Riesz permet de relier les deux points de vue : ensembliste et fonctionnel. Nous présentons cette relation au chapitre VI dans le cas particulier de la droite réelle.


Nous avons particulièrement développé le chapitre VII sur les fonctions définies par des intégrales, car nous estimons que son contenu est important par ses applications à l'analyse. Nous étudions en particulier le comportement asymptotique d'intégrales par la méthode de Laplace et par celle de la phase stationnaire dans le cas des intégrales simples.


Le calcul intégral est un outil essentiel de l'analyse mathématique et du calcul des probabilités. Nous l'avons illustré en choisissant sept applications qui sont présentées dans le dernier chapitre. L'équation de la chaleur est importante historiquement. Ce sont en effet les travaux de Fourier sur cette équation qui sont à l'origine de l'analyse qui porte son nom.


Nous ne parlons pas dans ce livre des relations qui existent entre le calcul intégral et les notions de base du calcul des probabilités. Nous les avons cependant illustrées dans deux des compléments du chapitre XI : le jeu de pile ou face et la mesure de Lebesgue, et le théorème de la limite centrale.


Chacun des chapitres est suivi d'exercices. Certains d'entre eux constituent des compléments présentés sous forme de problèmes. La bibliographie est loin d'être exhaustive. Nous avons seulement indiqué quelques ouvrages classiques de la théorie de la mesure et de l'intégration. En plusieurs occasions, nous utilisons des résultats d'analyse fonctionnelle pour lesquels nous faisons référence au livre de C. Albert, Topologie, et aussi à celui de V. Avanissian, Initiation à l'analyse fonctionnelle. Les termes nouveaux sont définis dans le texte à leur première occurrence et sont alors écrits en caractères italiques. L'index placé à la fin du livre permet de retrouver cette première occurrence.



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Informations
Date :

05/12/2011


Langue :

Français


Pages :

208


Consultations :

5525


Note :
Format :

PDF / EPUB


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Résumé

Auteur : Faraut Jacques


Editeur : EDP Sciences


Parution : 2006

ISBN : 9782759801794

Tags : Ebook sciences, ebook scientifique, calcul intégral
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