Problèmes inverses - Aspects numériques

Une difficulté pratique de l'étude des problèmes inverses est qu'elle demande souvent une bonne connaissance du problème direct, ce qui se traduit par le recours à une grande variété de notions tant physiques que mathématiques. Le succès dans la résolution d'un problème inverse repose en général sur des éléments spécifiques à ce problème. Il existe toutefois quelques techniques qui possèdent un domaine d'applicabilité étendu, et ce cours est une introduction aux principales d'entre elles : la régularisation des problèmes mal posés, et la méthode des moindres carrés.

La plus importante est la reformulation d'un problème inverse sous la forme de la minimisation d'une fonctionnelle d'erreur entre les mesures réelles et les n´ mesures synthétiques z? (c'est-à-dire la solution du problème direct).

Dans le cas des problèmes linéaires, le recours à l'algèbre linéaire et à l'analyse fonctionnelle permet d'obtenir des résultats précis, et des algorithmes efficaces. L'outil fondamental est ici la décomposition en valeurs singulières de l'opérateur considéré. Nous étudierons en détail la méthode de régularisation, qui consiste à n´ modifier z? légèrement le problème étudié en un autre qui possède de n´ meilleures z? propriétés. Ceci sera précisé aux chapitres 4 et 6.

Les problèmes non-linéaires sont plus difficiles, et il existe moins de résultats généraux. Nous étudierons l'application des algorithmes d'optimisation aux problèmes obtenus par la reformulation évoquée plus haut. Un ingrédient technique essentiel (du point de vue numérique) est le calcul du gradient de la fonctionnelle à minimiser. Nous étudierons la méthode de l'état adjoint au chapitre 8. Elle permet ce calcul pour un coût qui est un (petit) multiple de celui de la résolution du problème direct.

Comme on le voit, le contenu de ce cours vise surtout à présenter des méthodes numériques pour aborder les problèmes inverses. Cela ne veut pas dire que les questions théoriques n'existent pas, ou soient sans intérêt. Le choix délibéré de ne pas les aborder est dicté par l'orientation pratique de ce cours, par le goût et les connaissances de l'auteur, mais aussi par le niveau mathématique élevé que ces questions nécessitent.

Dans ce même livre Hadamard laissait entendre (et c'était une opinion répandue jusqu'à récemment) que seul un problème bien posé pouvait modéliser correctement un phénomène physique. Après tout, ces trois conditions semblent très naturelles. En fait, nous verrons que les problèmes inverses ne vérifient souvent pas l'une ou l'autre de ces conditions, voire les trois ensembles.

La différentiation est l'intégration sont deux problèmes inverses l'un de l'autre. Il est plus habituel de penser à la différentiation comme problème direct, et à l'intégration comme problème inverse. En fait, l'intégration possède de bonnes propriétés mathématiques qui conduisent à le considérer comme le problème direct. Et la différentiation est le n´ prototype z? du problème mal posé, comme nous allons le voir.