Géostatistique linéaire - Aide mémoire

Aide-M´
eostatistique Lin´
Ecole des mines de Paris
presses@ensmp.fr
Avertissement
eostatistique Lin´
eveloppements . Plus que sur
les d´etails de calculs, on a voulu y insister sur les id´ees directrices qui
sont donc les m´ethodes, et non les techniques math´ematiques, qui sont
semble-t-il. Car ce ne sont pas les math´ematiques mises en jeu ici qui font
press´e pourrait franchir ais´ement. Mais une telle vision r´eductrice, en
apparence inattaquable, est en fait absurde. Car ce qui fait la richesse de
un ensemble
urement m´erit´e le nom de discipline
quarante ans. Cet
Aide-m´
eostatistique Lin´
mentionner un maximum de r´ef´erences bibliographiques. Ces r´ef´erences,
quelques contraintes de bon sens : proposer une documentation ais´ement
donn´es en r´ef´erences.
Aide-M´
eostatistique lin´
Quelques conventions permanentes dans cet Aide-M´emoire :
extraites de documents cit´es en r´ef´erence, nous conviendrons de les
Citations
imprimer
entre guillemets et en italique
ailleurs, les expressions g´eostatistiques qui auront ainsi trouv´e leur
Expressions g´
eostatistiques
seront ult´erieurement ´ecrites avec des majuscules (Variographie,
edemment d´
efinies
signal´es en marge par un signe qui devrait imm´ediatement attirer le
Paragraphe 6.3.
une simple mention de paragraphe (cf. ci-contre) lorsque le texte
Chapitre 7,
paragraphe 1.2.
Pour en revenir aux autres textes cit´es, la plupart seront d´esign´es par un
techniques fondamentales utilis´ees en G´eostatistique Lin´eaire. Ce sont :
g´eostatistique,
eorie des variables r´
egionalis´
ses applications , Matheron, 1971 (c). Ce fascicule, ´edit´e par
Ecole des Mines de Paris (EMP), existe ´egalement en anglais. Il
Fasc. 5 , la r´ef´erence de
Les Fonctions Al´
Estimer et Choisir , Matheron, 1978. Ce fascicule, ´edit´e
chez Springer Verlag, sous le titre
Estimating and Choosing .
Le texte propos´e dans les chapitres suivants, simple compte-rendu ´ecrit
Seul ajout substantiel :
emonstration, sous
une forme nouvelle, du
de plus grande lisibilit´e du document. Toutefois, la convergence de
Avertissement
vrai que la G´eostatistique est une discipline vivante qui ne peut que
eguret dont les
compl´eter la pr´esentation des chapitres 7 et 8.
Pour la version de 1994, nous avons surtout souhaiter s´eparer
ajouts plus particuliers ou plus techniques : ceux-ci font d´esormais
emoire proprement
in´evitables corrections, en une remise en forme pour pr´eparer la mise
dans le catalogue des ressources p´edagogiques de ParisTech, accessibles
http://graduateschool.paristech.org. Ce cours, sous une
et fac´etieusement d´esign´e sous le nom Tome 2. Les ´evolutions futures
Etant clairement
entendu que le
esent Aide-M´
emoire
constitue le Tome 1 !
Toutes remarques, critiques ou suggestions quant aux contenu, style ou r´ealisation
mat´erielle du pr´esent document, seront accueillies et examin´ees avec la plus
ur et le plus rapide de communiquer demeure
le courrier ´electronique : pierre.chauvet@ensmp.fr
Aide-M´
eostatistique lin´
eostatistique Lin´
Aide-M´
eostatistique lin´
Introduction
1. Bref rappel historique
G´eostatistique
fait son apparition en 1962. Ce mot, qui
Matheron, 1962 (a).
cacher une v´erit´e ´evidente :
Historically geostatistics are as old as
Matheron, 1963 (b).
fort longtemps : en art des mines certes, mais aussi en m´et´eorologie,
topographie, cartographie, pour ne citer que quelques exemples.
Ainsi les Fonctions Al´eatoires ont-elles ´et´e introduites et ´etudi´ees
A. Kolmogorov, A. Khintchine) ; les outils th´eoriques que nous
Voir aussi R. Fortet &
Blanc-Lapierre, 1953.
er, N. Wiener, S. Bochner) ; et les m´ethodes comme les
Par exemple,
N. Wiener, 1949.
ind´ependamment dans le domaine minier, dans le domaine forestier
Gandin, 1960.
Sans doute une recherche bibliographique approfondie trouverait-elle une
Ecole des mines, il est
cette G´eostatistique
made in Fontainebleau
a ´et´e ´etroitement guid´ee
u la succession
quelque domaine particulier que ce soit.
eostatistique
Sichel, 1949, 1952,
Krige, 1951,
classique
Aide-M´
eostatistique lin´
krigeage
pour rappeler cette rencontre entre une technique math´ematique de
Matheron, 1956.
Matheron,
Ainsi, au sens ´etymologique, le mot
G´eostatistique
convient
1962 (a), 1965, 1968.
des mines de Paris :
Formery, 1964 ;
Matheron,
Matheron, 1970, 1971 (b) ;
Matheron, 1973.
Journel, 1974.
Simulations1 conditionnelles ou non, Ensembles Al´eatoires. Dans ce
Matheron,
th´eoriques. Ce
sauf en ce qui concerne les Ensembles Al´eatoires ; et si les trait´es de
David, 1977 ;
G´eostatistique se multiplient, surtout en anglais, ils restent en retrait
Journel, 1978 ;
Rendu, 1979 ;
Clark, 1981.
Estimer
Matheron, 1978.
Matheron &
Kleingeld, 1987.
g´en´eration
pleine expansion. Dans un contexte informatique de plus en plus
confortable, la G´eostatistique se d´eveloppe dans les directions les
aux ressources naturelles comme les mines ou le p´etrole. Plus
contraire des outils nouveaux dont le besoin se fait sentir et qui sont
Introduction
malheureusement au cadre qui a ´et´e choisi pour le pr´esent document.
3. Un point de vocabulaire
On a vu que le n´eologisme
Sichel, 1952 ;
Matheron,
la prise en compte de la r´epartition spatiale.
G´eostatistique dans une optique exclusivement statisticienne est une
Par exemple,
Sibson, 1981.
jeu de mots. En particulier, il est clair que le mot
Geostatistics , bien
G´eostatistique ,
pu choisir de trancher dans le vif, et proposer une terminologie nouvelle.
Estimer et Choisir , avec
eles topo-probabilistes. Ce nouveau
vocabulaire a certes le double avantage de prendre ses distances avec
Et puis, il bouscule un peu les habitudes. . .
au contraire que le texte qui va suivre, dans sa totalit´e, permettra au
4. Sommaire
conviendra, nous conclurons chaque chapitre, selon les cas, par
Aide-M´
eostatistique lin´
regroup´es en cinq classes :
I. Variables R´
egionalis´
ees et Fonctions Al´
eatoires.
eostatistique Transitive.
Il serait erron´e de croire que la G´eostatistique se fonde par nature
les possibilit´es de travailler dans un contexte d´eterministe, et les
Buts et moyens de la G´
eostatistique Lin´
pratique de cette G´eostatistique Lin´eaire.
IV. Stationnarit´
e et Ergodicit´
bonnes propri´et´es
permanence la G´eostatistique appliqu´ee.
V. Estimations.
sollicit´ee, permet de soulever des questions m´ethodologiques
VI. Variographie.
Egalement nomm´ee Analyse Structurale, cette ´etape est la phase
formalisme abstrait ´elabor´e au niveau math´ematique, et les donn´ees
ici quelques exemples et illustrations, ainsi que des remarques
empiriques ; mais il ne saurait y avoir de panac´ee.
eveloppements, et techniques sp´
ecialis´
G´eostatistique
Chapitre 1
Variables R´
egionalis´
et Fonctions Al´
eatoires
esentation
les Sciences Naturelles.
Le premier paragraphe examine le statut des deux niveaux de
rencontr´es dans le cadre du choix probabiliste, et pr´ecise
probabilistes.
1.1. Point de d´
egionalis´
mesures de pollution, de bathym´etrie, de g´eophysique, cette information
manipul´ee avec respect.
constructions intellectuelles ; bien au contraire, nous devons adapter nos
m´ethodologie qui saurait traiter de tout serait probablement soit un
trivial passe-partout g´en´erateur de banalit´es, soit un monstre ´ecras´e sous
egionalis´
constatation de bon sens : la G´eostatistique que nous proposons ici
ur le plus souvent de notre espace
g´eographique , espace
Aide-M´
eostatistique lin´
bien comme une science physique.
par la terre) que se r´ecoltent les donn´ees qui alimenteront notre
´etude. Remarquons au passage que, par la force des choses, le
bien r´eelles qui seront envoy´ees en laverie, des d´ebits bien r´eels qui
ou agr´ementeront vos vacances, des cours bien r´eels qui enrichiront ou
ruineront les sp´eculateurs. . .
parce que les valeurs num´eriques ne sont pas le r´eel, mais une
etape : la Variable R´
egionalis´
est importante : elle souligne en particulier que les m´ethodes que nous
domaine de validit´e.
variable r´
egionalis´
egionalis´
ees et Fonctions Al´
eatoires
susceptible de manipulations intellectuelles. En quelque sorte, la Variable
d´esormais
vivre sa vie math´ematique
Nous supposerons
cette fonction r´
num´erique. La G´eostatistique th´eorique travaille sur des quantit´es, et
complexe demeure
assez exceptionnel.
´echappe au formalisme g´en´eral que nous voulons d´evelopper dans le
. . . ou alors, il faut passer
par un codage num´
erique.
pr´esent document.
associ´ee sera, cela va de soi, la cote topographique. Le passage du
place. Supposons par exemple que la fonction
cote topographique
soit d´erivable ; cela aurait-il un sens de dire que sa d´eriv´ee repr´esente la
d´eriv´ee du relief
cens´ee repr´esenter le vent est le gradient de la fonction cens´ee repr´esenter
clairement les deux niveaux :
soit vraie, soit fausse ;
ce niveau du discours.
le vent est le gradient de la
pression
Il est bon de rappeler avec
insistance cette exigence :
ur une condition n´ecessaire
pragmatisme mal compris
rigueur math´
ematique
comme superflue !
ele primaire
Pour bien souligner le pas m´ethodologique qui a ´et´e franchi, nous
Aide-M´
eostatistique lin´
Nous esp´erons que les remarques du paragraphe pr´ec´edent apparaissent
triviales et pesantes. Encore faut-il ne pas les perdre de vue. Car
math´ematique pure, passionnant certes, mais totalement hors du propos
du pr´esent expos´e.
Plus pr´ecis´ement, le concept de Variable R´egionalis´ee est cens´e
coller
pied de la lettre des ´enonc´es purement math´ematiques concernant par
exemple la continuit´e ou la d´erivabilit´e de la Variable R´egionalis´ee. . .
rigueur, de propri´et´es de la r´ealit´e physique. .
Soulignons une nouvelle fois que ces remarques auront une importance
Sibson, 1981, p22 ;
Chauvet, 1987 (a), p84-92.
ele primaire
particulier les Statistiques
classiques
directe de la Variable R´egionalis´ee. Les outils sollicit´es sont ´el´ementaires,
R´egionalis´ee ´etant presque toujours disponible sur un ´echantillonnage
direct sur la Variable R´egionalis´ee pr´esente de r´eels avantages : aucune
donner un sens aux calculs. On travaille sur un Champ parfaitement
ergodicit´e (cf. infra). Les outils utilis´es sont absolument g´en´eraux.
On d´esigne sous le nom de g´
eostatistique transitive la partie de la
egionalis´
ees et Fonctions Al´
eatoires
expos´e, nous invoquerons la G´eostatistique Transitive essentiellement
pour cet apport m´ethodologique ; pour les d´etails techniques, nous
Matheron 1965,
ere partie ;
Fasc 5, chapitre 1.
nous ´eloigne encore un peu davantage de la r´ealit´e physique.
ele topo-probabiliste
Matheron 1965,
eme partie ;
du fait que nous allons vers une abstraction croissante, il est pr´evisible
retour
d´egag´ees au §1.3 ont ici une importance consid´erablement accrue.
la fois dans un espace
g´eographique
et dans un espace probabilis´e
g´eographique
vraies
lois de probabilit´e, du
loi de probabilit´e ni de
espace probabilis´e, il
des cas le seul ou en tout cas le meilleur qui puisse nous permettre de
1.6. Notations
g´eographique . Nous avons pr´ec´edemment not´e z la
Aide-M´
eostatistique lin´
g´eographique
et sur un espace probabilis´e. Si on la d´esigne par Z,
probabilis´e.
probabilis´
u, en termes intuitifs :
pure cr´eation intellectuelle. Qui a jamais pu observer une probabilit´e ?
noter Z(x). De plus, la coutume est de noter par des lettres minuscules
les Variables R´egionalis´ees, et des majuscules les Fonctions Al´eatoires.
la Variable R´egionalis´ee z est r´
ealisation de la Fonction
Al´eatoire Z
se traduit donc par la formule
ethodes
ethodologique
Bien que de nature purement math´ematique, la fonction z(x)
repr´esente. Certes, il est vraisemblable que z(x) se r´ev´elerait de
egionalis´
ees et Fonctions Al´
eatoires
atout pour le G´eostatisticien appliqu´e, mais bien au contraire un ´ecueil
Il y a beaucoup plus fondamental cependant. Dans la plupart des
remonter
ement de solution
la condition de r´ep´etabilit´e
La r´eponse dans ses grandes lignes est ceci :
. . . si nous d´epouillons par
( abstraction croissante
anecdotique
un ´equilibre harmonieux entre les exigences de r´ealisme et la richesse
ecanismes de passage
Variable R´egionalis´ee
Fonction Al´eatoire .
randomisation 2 . Dans une expression jug´ee int´eressante et exprim´ee
immersion probabiliste
Aide-M´
eostatistique lin´
des m´ethodes probabilistes. Ainsi par exemple la valeur moyenne
peut lui associer esp´erance math´ematique, variance, loi de distribution,
probabilit´es de d´epassement de seuils. . .
revenir
R´ealisation . Par exemple, si
des consid´erations probabilistes (sur esp´erance et variance, par exemple)
Krigeage, cf. Chapitre 6,
nous ont permis de construire un estimateur
paragraphe 3 .
Dans la pratique, ce va-et-vient est beaucoup plus discret. On applique
reconstruction op´
eratoire sera ´evoqu´ee au paragraphe ci-dessous.
3. Deux notions essentielles
probabiliste.
un certain nombre de contraintes. La seconde id´ee est de choisir des
contraintes qui permettent, dans une certaine mesure, de contourner la
3.1. Stationnarit´
egionalis´
ees et Fonctions Al´
eatoires
multiplets possibles de points du processus. Par contre, cette propri´et´e
peuvent parfaitement ne pas exister.
propri´et´e de stationnarit´
les esp´erances des
valeurs ponctuelles et des doublets de points du processus existent, et
existe
une valeur finie.
concernant au plus les lois bivariables, mais on exige en revanche
ponctuelles.
En ce qui concerne les deux premiers moments tout au moins, le
la R´ealisation disponible.
g´en´eral, les
R´ealisations multiples
approche statistique de ces R´ealisations.
3.2. Ergodicit´
Mais il y a plus. Il faut pouvoir ´etablir un pont entre la loi du processus et
sa structure spatiale, qui seule sera observable au niveau de la R´ealisation
Lantuejoul, 1990 ;
Boulanger, 1990.
compl´ements techniques sur les modes de convergence.
Chapitre 4, paragraphe 3.
probabiliste.
ecapitulation pr´
eliminaire
Nous disposons maintenant de limitations th´eoriques qui, nous
peuvent se r´esumer en quelques formules lapidaires :
stationnarit´
tout se passe comme si on
attention : ces processus ne sont pas ind´ependants !
stationnarit´e ,
stationnarit´e stricte .
Aide-M´
eostatistique lin´
ergodicit´
abondante, on peut donc approcher les deux premiers moments de
variable al´eatoire quelconque, est stationnaire mais pas ergodique.
des processus al´eatoires stationnaires et ergodiques permet de maintenir
Voir par exemple
Journel, 1978,
chapitres III et IV.
la Variable R´egionalis´ee ´etudi´ee peut-
stationnaire ergodique ? .
cette question ait un sens ? Nous sommes donc contraints de supposer
moyennes spatiales. .
de repr´esenter une Variable R´egionalis´ee donn´ee par un processus
probabiliste ergodique. La propri´et´e de stationnarit´e se pr´esente alors
stationnarit´e.
que de la Variable R´egionalis´ee. La question :
cette V.R. peut-elle
stationnaire ?
1. la Variable R´egionalis´ee pr´esente-t-elle une valeur raisonnablement
analyse structurale
initialement
egionalis´
ees et Fonctions Al´
eatoires
raisonnablement , pour
esp´erer atteindre en respectant le seuil de r´ealisme. Autrement dit,
une conjecture de nature physique, qui doit r´ealiser un ´equilibre entre
la commodit´e de manipulation math´ematique et la compatibilit´e avec
g´eostatistique.
important que la th´eorisation math´ematique.
echelle
echelle de travail.
Matheron, 1975.
consid´er´e comme r´egulier ou irr´egulier, constant ou variable, structur´e
exemple aux cartes g´eographiques. . .
Matheron, 1975.
d´eterministe
al´eatoire
structur´e
erratique
sont des jugements que nous portons sur
3.6. Une illustration
discr´etisation informatique). Nous nous proposons de r´ecapituler sur cet
R´egionalis´ee, fonction du temps, peut se r´ev´eler continue ou non,
que serait la d´eriv´ee de SO2 par rapport au temps ?
La question :
Fonction Al´eatoire ?
est, faut-il le rappeler, d´epourvue de sens. Le
d´ecidons de faire ou de ne pas faire.
Si maintenant nous choisissons de mod´eliser la Variable R´egionalis´ee par
Aide-M´
eostatistique lin´
raisonnablement
4.1. Rappel pr´
ealable
. . . on estime des grandeurs (objectives), on choisit des m´ethodes,
Variable R´egionalis´ee ´etait connue exhaustivement. Mais il existe des cas
de toujours agir en connaissance de cause, et de toujours se r´ef´erer aux
se substituer aucune pr´esentation abstraite.
Chapitre 3,
paragraphe 1.3.
trouver
egionalis´
ees et Fonctions Al´
eatoires
G´eostatistique !) et une contrainte de respecter les donn´ees.
Ce travail est traditionnellement appel´e analyse structurale, analyse
la phase essentielle de toute ´etude g´eostatistique, puisque de sa qualit´e
mauvais
non conforme
aux donn´ees, car nous supposerons au moins
sur quelque test statistique que ce soit une pseudo-objectivit´e de notre
Henley, 1987.
Matheron, 1976, p5-6.
avec les Informaticiens, avec les Statisticiens. Sachons alors nous garder
pour se garantir au mieux contre le risque de prendre une d´ecision
lesquelles il est bien oblig´e de se fonder. Il recherche, par cons´equent, le
economie .
eratoire.
op´erations th´eoriques souhait´ees ont ´et´e r´ealis´ees. Ce sont ces op´erations
En r´ealit´e, cette ´etape est en g´en´eral assez fugitive, parce que
egionale toute quantit´e qui est parfaitement connue dans la totalit´e de
Aide-M´
eostatistique lin´
etre conventionnel
R´egionale. Le principe des grandeurs r´
une approximation donn´ee) entre de telles grandeurs. .
est ainsi referm´ee.
Bibliographie
Estimer et Choisir , Matheron, 1978.
ant´erieures, par exemple :
esentation des Variables R´
egionalis´
ees , Matheron,
Hasard, ´
echelle, structure , Matheron, 1975.
evolution de la G´
eostatistique
ere , Matheron, 1976.
Interpreting Multivariate Data , Barnett ed., 1981.
Henley, 1987.
Kriging : blue or pink ?
relev´e dans
Les Variables R´
egionalis´
ees et leur estimation ,
Matheron, 1965.
Variables
egionalis´
applications , Matheron, 1971.
egionalis´
ees et Fonctions Al´
eatoires
comme document de r´ef´erence
Trait´
eostatistique Appliqu´
ee , Matheron, 1962.
ABSTRACTION
CROISSANTE
MODELE
GEOSTATISTIQUE
REALITE
PRIMAIRE
INTRINSEQUE
VARIABLE REGIONALISEES
FONCTIONS ALEATOIRES
Echantillonnage
Exploitation
Aide-M
´emoire
Statistique classique
Formalisme probabiliste
Analyse de données
Analyse
Hypothèses physiques
Géostatistique transitive
structurale
supplémentaires
Figure
Sanction
Ergodicité
´eostatistique
de l'expérience
Stationnarités
Géostatistiques - Classique
- Non linéaire
Conclusion
- Non stationnaire
RECONSTRUCTION OPERATOIRE
CONTROLE DES HYPOTHESES
´eaire
egionalis´
ees et Fonctions Al´
eatoires
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 2
eostatistique Transitive
esentation
travail direct sur la Variable R´egionalis´ee. Il permet cependant
de d´egager quelques notions qui seront reprises en G´eostatistique
recourir ult´erieurement aux m´ethodes probabilistes.
mod´elisation.
1. Le Covariogramme Transitif
g´eographique, hors de tout pr´esuppos´e probabiliste.
Champ born´e (not´e S). Nous supposerons que z(x) est identiquement Chapitre 1,
paragraphe 1.2.
Variable R´egionalis´ee z.
u cela a ´et´e Chapitre 1,
paragraphe 4.3.
1.2. Propri´
eoriques imm´
ediates
certain nombre de propri´et´es th´eoriques, pour la plupart ´el´ementaires,
Matheron, 1965, p18-24.
Aide-M´
eostatistique lin´
Voir aussi Matheron,
faut remarquer que la port´ee est une propri´et´e du champ, non de la
R´egionalis´ee ´etudi´ee z(x) est la fonction indicatrice k(x) du Champ
Traditionnellement not´e K(h), le Covariogramme Transitif est dans ce
notations : les Covariances
cas appel´e covariogramme g´
etrique.
eralis´
Chapitre 8, seront
egalement not´
confusion est cependant
difficile, et nous garderons
ere ambigu¨
bouleverser les habitudes.
Matheron, 1965, p102-107.
1.3. Positivit´
quantit´e qui est toujours positive ou nulle.
eostatistique Transitive
Une fonction poss´edant cette propri´et´e est dite de type positif. Cette
propri´et´e caract´erise la classe des fonctions de covariance.
fonction continue est de type positif (donc est une covariance) si et
sommable. Le lien est ainsi ´etabli entre le formalisme transitif et le travail
Remarque capitale : une fonction de type positif dans un certain espace
n´ecessairement dans un espace de dimension sup´erieure1 .
Il existe un lien ´etroit entre les propri´et´es de continuit´e, d´erivabilit´e,
Covariogramme Transitif. Ce lien r´esulte de la formule ´evidente :
du vecteur h, et non de son orientation. On peut alors proposer un
de distinguer dans ce d´eveloppement les puissances paires de r, qui
composent la partie r´
composantes logarithmiques) qui en constituent la partie irr´
Matheron 1965,
chapitre II.
on montre alors que le degr´e de r´egularit´e spatiale de la Variable
egularisations
transpos´
ou, plus synth´etiquement :
d´eduit de g (Covariogramme Transitif de z), par la formule :
Aide-M´
eostatistique lin´
Un cas particulier de r´egularisation est la mont´
ee de la Variable
Matheron 1965,
chapitre II.
nouvelle Variable R´egionalis´ee, dans un espace poss´edant une dimension
(mont´ee de mont´ee, etc. ). On montre alors que
le Covariogramme
associ´e . Dans le cas isotrope, on peut de plus ´etablir des formules
Par exemple, Matheron
1965, p44-46 & p55-56.
Covariogramme Transitif.
pas abord´ee ici.
cette quantit´e ´etant une Grandeur R´egionale.
Remarque : comme le Champ de la Variable R´egionalis´ee est par
d´epend de x0, et que plus pr´ecis´ement il est une fonction p´eriodique de
2.2. Implantation de la maille
eostatistique Transitive
Variable R´egionalis´ee, est une r´ealit´e physique unique parfaitement
d´eterministe, sur laquelle nous ne savons rien a priori . Mais pr´ecis´ement,
la maille de reconnaissance a ´et´e implant´ee
au hasard . Tout se passe
[0, a], selon une loi de probabilit´e de densit´e constante.
esentation transitive de la Variable R´egionalis´ee.
2.3. Propri´
que, pour une Variable R´egionalis´ee z(x) immuable, les erreurs que
Elle ne d´epend donc que de la dimension de la maille de reconnaissance,
et du Covariogramme Transitif.
ecessit´
elisation
Covariogramme Transitif :
Aide-M´
eostatistique lin´
estimation et la pr´ecision de cette estimation .
utilisable en continu, et pas seulement sur la maille de reconnaissance.
ur risqu´ee, puisque par nature
essentielle de la pratique g´eostatistique. Mais il faut savoir prendre
ses responsabilit´es :
Henley, 1987.
assurerait la validit´e de la mod´elisation, et encore moins qui en fonderait
R´egionalis´ee ´etait connue exhaustivement ;
Grandeur R´egionale.
la stationnarit´e qui se manifeste
elisation du Covariogramme Transitif
Chapitre 1,
paragraphe 4.1.
eostatistique Transitive
essentielles et imp´eratives ;
Paragraphe 1.2.
les valeurs exp´erimentales disponibles (les g(ka) dans
u se manifeste
A notre sens, il doit
eflexion,
elas aussi source
tests statistiques automatiques pour franchir cette ´etape ne serait pas
emique.
une solution, mais une d´erobade.
Covariogramme Transitif. Nous d´esignerons par la suite cette fonction
math´ematique g sous le nom de covariogramme mod´
Matheron, 1965, p77.
dans laquelle
du comportement de g(h) au voisinage de la port´ee.
En ce qui concerne le terme r´egulier, on peut ´etablir une correspondance
Aide-M´
eostatistique lin´
Covariogramme est compatible avec le comportement de ces variances
(modulo 1)
u L est la port´ee du Covariogramme et a la maille de reconnaissance.
amplitude consid´erable.
3.3. Une situation pr´
eatoire
eatoire :
Ullmo, 1967, p649.
ethodologique)
impr´evisible .
m´ethodes transitives, qui se voulaient au d´epart purement g´eom´etriques,
eostatistique Transitive
La porte est ainsi ouverte aux m´ethodes probabilistes, qui seront
beaucoup plus d´evelopp´ees que la th´eorie transitive en raison de leur
3.4. Remarque sur la stationnarit´
Chapitre 1, paragraphe 3.
Chapitre 1,
paragraphe 3.5.
3.5. Les trois Covariogrammes
Nous voulons conclure ce chapitre par un inventaire des outils
structuraux que nous y avons rencontr´es.
propri´et´es structurales de la Variable R´egionalis´ee et des propri´et´es
Matheron, 1965, p96-102.
souhaitable, ce qui explique en partie parfois le renoncement aux
comme une succession de valeurs :
Dans la pratique, il faut tenir compte de tol´erances de calcul sur les
distances, les directions, etc. Un Covariogramme Exp´erimental est une
Aide-M´
eostatistique lin´
dans les expressions math´ematiques th´eoriques.
Ces trois statuts se retrouveront au niveau de toutes les fonctions
Voir par exemple
Chauvet, 1987 (b), p2-8.
outils structuraux seront examin´es (variogrammes ou covariances
cours des calculs num´eriques qui sont d´evelopp´es ult´erieurement.
Bibliographie
Fascicule 5 ,
ainsi que du Chapitre VI de
Estimer et Choisir .
Les Variables R´
egionalis´
ees et leur estimation ,
Matheron, 1965.
on trouvera le d´etail des calculs math´ematiques sur les m´ecanismes
de mont´ee et descente, le principe de correspondance, et les formules
Chapitre 3
Buts et moyens de la
eostatistique Lin´
esentation
ole de la variance en G´eostatistique Lin´eaire, et en donne le
mode de calcul.
introduit la notion de Variance
niveau des estimations.
g´en´eralise la variance des statistiques classiques, et qui sert
1. Limites de la g´
eostatistique lin´
1.1. Cadre de travail
G´eostatistique Lin´eaire
est un raccourci : il convient de pr´eciser
physique, mais math´ematique.
Cela dit, il est ´evident que les outils qui seront pr´esent´es doivent
chapitres VI et VII.
op´eration ont ´et´e partiellement ´evoqu´es au chapitre pr´ec´edent ; il
u nous avons choisi de consid´erer
f (x1, . . . , xn; z1, . . . , zn)
Aide-M´
eostatistique lin´
x1, . . . , xn de ces n points.
Chapitre 1,
paragraphe 3.1.
On d´esignera en toute g´en´eralit´e ces deux premiers moments par m(x)
et C(x, y) (ou plus simplement par mx et Cxy) avec respectivement :
Il reste bien peu de choses de la richesse de la Loi Spatiale. Non seulement
bivariables ne sont connues que par leurs esp´erances.
nos outils :
pas les atomes, les dissym´etries, les
multimodalit´es, les queues de distribution, etc. de la loi ;
pas les relations
on choisit de travailler.
consacre ainsi un expos´e. . .
Ces avantages tiennent en peu de mots, et semblent de peu de poids
au regard des restrictions pr´ec´edentes, et ils sont pourtant bien souvent
Buts et moyens de la G´
eostatistique Lin´
Voir en particulier
eveloppements
eostatistique
´etude, est bien souvent la seule approche possible. Du fait du petit
sur des jeux de donn´ees pour lesquelles des techniques plus sophistiqu´ees
estimateurs fond´es sur la m´ediane ou le maximum de vraisemblance, des
1.4. Commentaire
par exemple :
Henley, 1981.
de telle ou telle m´ethode
non param´etrique . . .
Il ne nous semble pas que de telles questions soient les bonnes.
Comme tout le monde, nous savons que la m´ediane est un estimateur plus
savons aussi (comme tout le monde esp´erons-le) que cet estimateur est
inadapt´e pour estimer des valeurs moyennes, et a fortiori pour r´ealiser
des changements de support.
Voir un cours de
eostatistique
Ainsi, si les critiques envers la G´eostatistique Lin´eaire sont de nature
de cause, sans se dissimuler les limites et les risques de la m´ethode,
mais sans non plus faire preuve de trop de purisme. Nous savons que
la Fonction Al´eatoire trait´ee est
proche
gaussienne. Dans des cas
fortement non-gaussiens , la G´eostatistique
temps un indicateur de la
efinir !...
en ´evidence les limites des m´ethodes lin´eaires, et pour proposer des
Aide-M´
eostatistique lin´
ecanismes de calcul des variances
Dans toute la suite de ce chapitre, nous nous placerons dans
2.1. Les Combinaisons Lin´
eaires Autoris´
Une convention de
Notations : les combinaisons lin´eaires
i) construites sur la
notations classique,
que nous utiliserons
assez syst´
ematique.
nous faudra aussi manipuler des mesures, soit :
lin´eaires que porteront les deux outils, esp´erance et variance.
que ces expressions aient math´ematiquement un sens : il faut que la
moments existent pour toute combinaison lin´eaire.
math´ematiquement un sens.
propri´et´e sera appel´ee une Combinaison Lin´
eaire Autoris´
soit une CLA, sera appel´e mesure autoris´
Paragraphe 1.1.
et, en gardant les notations pr´ec´edentes :
Buts et moyens de la G´
eostatistique Lin´
La formule fondamentale :
sur une fonction structurale, nous accompagnera sous des pr´esentations
2.3. Propri´
es de la covariance stationnaire
Les propri´et´es math´ematiques de la covariance stationnaire sont voisines
de celles du Covariogramme Transitif :
Chapitre 2,
paragraphe 1.2.
la Fonction Al´eatoire.
Chapitre 4,
paragraphe 3.3.
Aide-M´
eostatistique lin´
3.1. Notations
Z(v) la Variable
Al´eatoire obtenue en faisant la moyenne spatiale de Z(x) sur v, soit :
u la notation [v] d´esigne la mesure (longueur, aire, volume, etc. ) du
de N points xi, ce qui donnerait alors :
Z(v) admet une variance et
Paragraphe 2.2.
, et on appelle variance
licite th´eoriquement.
Paragraphe 2.3.
Clairement, cette
Z(v ) constitue un estimateur
propri´
e de non-biais est
eminemment souhaitable
lors de la construction
Buts et moyens de la G´
eostatistique Lin´
ou plus synth´etiquement :
avec les notations du paragraphe 3.1.
3.3. Analyse de la formule
Si on conserve le point de vue :
Paragraphe 1.4.
Matheron &
Formery, 1962.
appliqu´ee la proc´edure de Reconstruction Op´eratoire. Le formalisme
moyenne de la France. . . et ne d´epend pas des valeurs des donn´ees
utilis´ees pour r´ealiser cette estimation ;
G´eostatistique Non Lin´eaire ou de Simulations.
fonction de covariance ;
Aide-M´
eostatistique lin´
Si nous restons, comme dans tout ce chapitre, dans le cadre
ere apparition du
concept de variogramme.
Z(v ) soit constitu´e de la moyenne :
Chapitre 2,
paragraphe 2.2.
Chapitre 2,
celles rencontr´ees dans le cas transitif.
4. Variance de dispersion
des comportements de cette variance de dispersion, comportements
variance de
Buts et moyens de la G´
eostatistique Lin´
dispersion
Chapitre 4.
les pr´emisses de la G´eostatistique Non Stationnaire ;
G´eostatistique Non Lin´eaire ;
Remarque : la Reconstruction Op´eratoire est ici un peu plus compliqu´ee
dispersion. Notons ici une situation peu fr´equente : nous devons aller
4.1. Dispersion statistique de v dans V
nous conserverons dans
zi la valeur moyenne de z(x) sur vi. On a donc :
esigner par V ou
esigne
ur pas dans ce cas
une quantit´
eatoire !
Soit N le nombre de sous-domaines vi constituant V :
Aide-M´
eostatistique lin´
la quantit´e :
(ou plus pr´ecis´ement de la variance) au sens de la statistique classique.
Du reste, si on fait tendre v vers un support ponctuel, on retrouvera la
variance statistique usuelle de z(x) (ponctuelle) dans le champ V .
a la version probabiliste
Chapitre 1,
Suivant le m´ecanisme classique de
randomisation , on transpose
paragraphe 2.3.
Selon le m´ecanisme de passage inverse, on voit donc que la Dispersion
4.3. Variance de dispersion de v dans V
Voir compl´
partition de V . Tous calculs faits, on obtient :
en fin de chapitre.
on pourrait ´egalement introduire la covariance de dispersion de v et v
eflexion. . .
Mais, dans ces conditions, on perdrait la possibilit´e de r´ealiser la
Reconstruction Op´eratoire. En revanche, on introduirait la possibilit´e
(co)variances de dispersion dans un champ V arbitraire :
Buts et moyens de la G´
eostatistique Lin´
esultats compl´
ementaires
toujours possible, quelle que soit la forme de V . La formule g´en´erale se
4.5. Formule de Krige
e, a ´et´e constat´ee
Il est prudent de
formule de Krige
relation
une signification tout
eostatistique
Non Stationnaire (voir
Annexe au Chapitre 7.).
retiendra :
Nous sommes maintenant de plain-pied avec la G´eostatistique Lin´eaire,
Commentaires
r´eexaminer la notion de stationnarit´e et voir dans quelle mesure il est
Il nous semble donc pr´ef´erable, maintenant, de
seulement
les id´ees directrices qui, quel que soit le degr´e de stationnarit´e, assurent
Bibliographie
sont essentiellement des cours de G´eostatistique. Autant donc se limiter
Fascicule 5
Les Variables R´
egionalis´
ees et leur estimation ,
Matheron, 1965.
gisements miniers , Matheron et Formery, 1962.
Les documents plus appliqu´es, comme par exemple :
Aide-M´
eostatistique lin´
Trait´
eostatistique Appliqu´
ee , Matheron, 1962.
constituent une approche plus technique que le pr´esent expos´e, et
insistent sur des formules, abaques et approximations que les moyens
de calcul actuels rendent sans doute moins indispensables.
Et cette fois encore, concernant les limites de la G´eostatistique Lin´eaire,
Compl´
Explicitation de la variance de dispersion : avec les notations du
On obtient successivement :
Buts et moyens de la G´
eostatistique Lin´
cons´equence,
(2) : par application de la formule g´en´erale du calcul de la variance
moyenne sur un domaine.
(4) : parce que les vi constituent une partition de V , et que la
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 4
Stationnarit´
e et ergodicit´
esentation
locaux.
stationnarit´e.
oles possibles de
ecessit´
ese stationnaire
Chapitre 1,
paragraphe 1.1.
covariance Cxy, sans pour autant imposer la stationnarit´e :
pas une discipline de Probabilit´es pures. Nous avons longuement insist´e Chapitre 1.
nature math´ematique (par exemple celles du chapitre pr´ec´edent) et les
la Variable R´egionalis´ee. Autrement dit, sauf si nous choisissons de faire
Chapitre 1,
paragraphe 4.3.
emes globaux
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 2.
Chapitre 2,
probabiliser
paragraphe 2.2.
devons exprimer alors une certaine condition de
stationnarit´e
grandes th´eories, mais seulement de sens pratique.
Chapitre 2.
cependant vouloir aussi se poser des questions plus structurales sur la
est capable de s´eparer, dans le Covariogramme Transitif, ce qui d´epend
Matheron 1965, p96-102.
de la Variable R´egionalis´ee et ce qui d´epend du Champ.
Sans rentrer dans les d´etails, disons que cette analyse se fonde
principalement sur une ´etude simultan´ee du Covariogramme Transitif et
plus compliqu´es. Nous examinerons ult´erieurement, mais seulement
En conclusion : au niveau global,
stationnarit´e au niveau de la Variable R´egionalis´ee. Le facteur d´ecisif
emes locaux
Pour tout ce paragraphe,
voir Estimer et
Choisir, p147-156.
Stationnarit´
e et ergodicit´
u la r´ep´etition spatiale, obtenue par la translation
cons´equence de notre choix, la variance de notre estimateur sera non
1.3.2. Un exemple
On notera la similitude avec le formalisme transitif.
u u est le point al´eatoire uniforme sur S0. Z(x) est appel´e
esentation glissante de z(u) dans S0. Il est alors imm´ediat que :
Aide-M´
eostatistique lin´
inf´erence statistique , mais constitue simplement
construire :
On notera aussi que
localis´e .
Au contraire,
ese stationnaire
ele sans variance a priori
photographie
statistique des donn´ees sera
approche
dynamique
des donn´ees qui peut mettre en ´evidence des
Chapitre 3,
paragraphe 4.3.
panneaux
Stationnarit´
e et ergodicit´
Naturellement, on peut objecter que dans la pratique, on ne pourra
2.2. Combinaisons lin´
eaires autoris´
ponctuelles, mais les accroissements de la Fonction Al´eatoire qui
Chapitre 3,
paragraphe 2.1.
lin´eaire autoris´ee.
autoris´ees ; toutes les combinaisons lin´eaires sont donc autoris´ees, et sont
compte le fait que la plus simple des combinaisons lin´eaires, la valeur
ponctuelles.
La dialectique est claire :
r´eduite de combinaisons lin´eaires que nos op´erations th´eoriques
autoris´ee, doit garder cette propri´et´e quelle que soit son implantation : le
de convergence.
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 8,
pas de son implantation.
de poids total nul :
ese de stationnarit´
Paragraphe 1.2.
point important : pour pouvoir r´ealiser la Variographie dans des
quelque chose
de stationnaire : toutes
quelque chose .
erance
estimateur de m.
Dans la version probabilis´ee, on a donc :
Voir compl´
en fin de chapitre.
covariance centr´ee de Z.
grand que possible : nous sommes irr´em´ediablement limit´es par la taille
u la question : S est-il assez grand pour assurer une
bonne estimation de m ? Ou plus correctement : S est-il assez grand
La r´eponse se fait en deux temps :
Stationnarit´
e et ergodicit´
egrale
Chapitre 2,
paragraphe 1.2.
Cette quantit´e est appel´ee port´
(longueur dans R1, aire dans R2, etc. ). En reportant cette Port´ee
constitu´e de N pav´es disjoints A, la formule devient :
obtenu en prenant la moyenne de N variables ind´ependantes de variance
3.4. Reconstruction op´
eratoire
r´eel. Il faut donc reconstruire la Port´ee Int´egrale en termes op´eratoires.
Chapitre 3,
paragraphe 3.1.
partition de S, la formule de la Variance de Dispersion de s dans S
Chapitre 3,
paragraphe 3.4.
une relation de la forme :
Aide-M´
eostatistique lin´
de la Variance de Dispersion Statistique. Mais fondamentalement, cette
relation constitue une
Commentaires
Ce chapitre est avant tout une ouverture vers de futurs d´eveloppements :
pas toujours une bonne chose. . .
Compl´
Chapitre 2,
paragraphe 1.2.
Chapitre 5
Buts et moyens de la
eostatistique Lin´
esentation
Ce chapitre poursuit la pr´esentation des formules fondamentales de
des formules de
Dispersion.
en G´eostatistique Non Lin´eaire.
Chapitre 3,
paragraphe 2.2.
Fonction Al´eatoire.
´etant une Fonction Al´eatoire dont les accroissements sont stationnaires
stationnaires :
Aide-M´
eostatistique lin´
ponctuelles.
La fonction m(h) est appel´ee la d´
erive de la Fonction Al´eatoire
il r´esulte imm´ediatement que la d´erive est une fonction lin´eaire de h.
Chapitre 4,
paragraphe
au cours de chaque Analyse Variographique.
Concernant le facteur 2,
jamais risque de confusion.
ce qui permet le recours au processus d´esormais classique de
Reconstruction Op´eratoire.
1.2. Combinaisons lin´
eaires autoris´
Chapitre 3,
paragraphe 2.1.
Autoris´ees : une CLA est toute combinaison lin´eaire admettant
une combinaison de valeurs ponctuelles, avec la particularit´e que la
R´eciproquement, soit une combinaison lin´eaire de poids total nul :
Buts et moyens de la G´
eostatistique Lin´
une CLA est une combinaison lin´eaire de
ecanismes de calcul
deux premiers moments des CLA.
Finalement :
d´erive est nulle.
Ce r´esultat nous permettra ult´erieurement de confondre variance et
esp´erance du carr´e au niveau des CLA, ce qui sera ´evidemment d´ecisif
Chapitre 3,
paragraphe 2.2.
Nous pr´esenterons ici le variogramme de Z sous la forme g´en´erale :
et, x0 ´etant un point arbitraire, nous posons :
Rappelons que la
stationnarit´
importante pour
erence statistique
et la Reconstruction
eratoire, mais que
eveloppements
successivement :
de la covariance.
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 3,
paragraphe 2.2.
covariance existe. Ainsi :
COMME SI il existait une covariance C, mais en
court-circuit
algorithmique. Nous pouvons remplacer C
cela ´etablira (d´emontrera) la version de ce r´esultat dans le cadre
Buts et moyens de la G´
eostatistique Lin´
Chapitre 3,
paragraphe 2.1.
demeure valable avec un variogramme non stationnaire.
Naturellement, la question
ele de variogramme
1.4. Propri´
es du variogramme stationnaire
non stationnaire
Nous ´enum´erons simplement ici quelques propri´et´es classiques du
Fonction Al´eatoire.
on doit avoir :
C(h). Classiquement alors :
2. Formules des variances
Paragraphe 1.3.
de ces expressions est une combinaison lin´eaire de Z, de poids total ´egal
Z(v ) est ainsi de poids total nul :
Chapitre 3,
paragraphe 3.2.
Aide-M´
eostatistique lin´
u v et v se r´eduisent respectivement aux
qui est une version ´elargie de la relation :
Chapitre 3,
paragraphe 3.3.
´el´ementaire .
2.2. Variance de Dispersion
Chapitre 3,
paragraphe 4.1.
Dispersion Statistique de v dans V :
est ainsi une somme de carr´es de CLA. Elle admet donc une esp´erance.
obtenir :
2.3. Autre pr´
esentation du variogramme
eflexion
equence, mais qui
de Combinaisons Lin´eaires Autoris´ees. On pourrait alors en proposer une
prendra tout son sens
dans le cadre des FAI-k.
Buts et moyens de la G´
eostatistique Lin´
qui sera pr´esent´e (sans d´emonstration) ult´erieurement dans le cadre
le variogramme. Si en
constante A,
Cas particulier du
e des Covariances
eralis´
annexe du Chapitre 8.
constante quelconque.
egularisations
esultats g´
Chapitre 2,
paragraphe 1.5.
Aide-M´
eostatistique lin´
En toute rigueur (et contrairement au cas transitif), ces int´egrales
Matheron 1965, p119-120.
que Zp(x) existe si et seulement si :
La pr´esentation traditionnelle de la r´egularisation commence dans le
Il est int´eressant de rapprocher cette formule de son ´equivalent transitif.
Comme en transitif, il existe des formules de r´egularisation ou de mont´ee
Cp. On peut ensuite exprimer ces formules de r´egularisation en fonction
3.2. Formule de changement de support
Dans le pr´esent expos´e, nous voudrions seulement mentionner
synth´etiquement la r´egularisation. Pour ne pas encombrer les notations
En tant que Fonction Al´eatoire de x, Z(vx) est stationnaire ou
la plus g´en´erale, son variogramme :
Buts et moyens de la G´
eostatistique Lin´
Paragraphe 6.3.
Zv, la relation est encore plus simple :
Commentaires
dans les habitudes des praticiens de la G´eostatistique, et on utilise bien
plus fr´equemment le variogramme que la covariance. Cette d´emarche
non stationnaires
au chapitre 8, on pourra utilement se souvenir que,
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 6
Estimations
esentation
entendons par
place les m´ecanismes.
estimation , et on examine en quoi divergent alors les
approches globale et locale.
a orienter le lecteur vers
la bibliographie.
pas une panoplie de krigeages ´epars, mais une seule optique qui, en
a des formalismes
1. Alternative global/local en estimation
Chapitre 1,
paragraphe 4.1.
quantit´es qui existent ind´ependamment de nos choix (arbitraires)
Voir notion de
paragraphe 3.2.4.
ult´erieurement instructive.
estimation
Sch´ematiquement, on pourrait dire que le Statisticien
estime
Conventionnels. Dans le vocabulaire statistique classique, ce que nous
appelons
estimation
pr´ediction .
s´equence : un vocabulaire convenant aux s´eries chronologiques aurait
g´eographique
que, forg´ee initialement dans un contexte minier, la terminologie
Aide-M´
eostatistique lin´
estimer un gisement
sonne plus naturellement
par la pratique.
1.2. Estimation globale, estimation locale
vue global et local.
Chapitre 4,
paragraphe 1.1.
Champ ´etudi´e, et utilise toutes les donn´ees disponibles. On peut dire
deviendraient vite exorbitants.
qui veut tenir compte des particularit´es de chaque voisinage glissant
et ce m´ecanisme caract´erise ce que nous appelons le krigeage. Cette
proc´edure sera r´ep´et´ee de proche en proche sur tout Voisinage Glissant.
moyenne arithm´etique simple de la totalit´e des ´echantillons disponibles.
temps naturellement, on supposera mod´elis´ee la structure spatiale de la
(covariance ou variogramme).
Matheron, 1962.
Matheron, 1965,
ou des fonctions pr´ealablement tabul´ees, lorsque les moyens de calcul
ou plus synth´etiquement encore par la formule :
Chapitre 3,
paragraphe 3.2.
ur par les formules ´equivalentes exprim´ees en termes de
variogrammes. Les commentaires du Chapitre 3, §3.3 demeurent
´evidemment valides.
Echantillonnage al´
eatoire pur
hasard, ind´ependamment les unes des autres, et uniform´ement dans le
Matheron, 1965, p211.
par la moyenne :
al´eatoires Xi , ind´ependantes et uniformes dans V . La Variance
de son ´equivalent en variogramme) :
Xi sont al´eatoires. Cette formule peut encore se mettre sous la forme
un peu plus pratique :
u les expressions sous le signe de sommation sont des erreurs partielles.
Calculons maintenant cette expression, par le moyen de la formule
Voir tout cours
de Probabilit´
Aide-M´
eostatistique lin´
travailler sans d´
Une notation intuitive,
mais qui prend trop
rigueur math´
ematique !
sont ind´ependantes, et :
(les termes crois´es sont nuls, comme covariances de variables al´eatoires
ind´ependantes).
Chapitre 3,
paragraphe 4.1.
notations habituelles :
rapprochant des r´esultats de la Statistique classique. On retrouve bien
Echantillonnage al´
niveau de la Variable R´egionalis´ee), puis on d´econditionne par rapport
Le r´esultat est cette fois :
Chapitre 3,
paragraphe 4.5.
ici absolument essentielle.
2.3. Remarque sur la g´
V est suppos´e correctement circonscrit par un proc´ed´e quelconque.
un Champ est souvent d´elimit´e par r´ef´erence aux valeurs prises par
u est d´etaill´ee
Matheron, 1965, pp89-
92 ; pp98-100 ; p213.
seulement seront soulign´ees :
de revenir au formalisme de la G´eostatistique Transitive pour toute
Aide-M´
eostatistique lin´
2.4. Maille r´
a implantation pr´
erentielle
par la r´eunion de volumes vi tous ´egaux, constituant une partition de
Chapitre 3,
paragraphe 3.4.
les donn´ees sont trop nombreuses ou la g´eom´etrie trop tourment´ee.
De nouveau, nous ne rentrerons pas dans les d´etails techniques, qui
Matheron, 1965,
contributions, comme par exemple :
en estimant une ligne (un sondage par exemple) par la moyenne
paragraphe 2.5.2.
appel´ee terme de ligne ;
terme de section ;
expressions de variogrammes (ou covariances) r´egularis´es sur des
volumes g´eom´etriquement simples. On peut ainsi avantageusement
instructifs, en particulier les trois exercices du Fascicule 5 consacr´es
Fasc. 5, p107-112.
tirer un enseignement positif de r´esultats apparemment contradictoires.
2.5. Maille r´
Chapitre 4,
paragraphe 1.1.
probabiliser
Matheron, 1965,
2.6. Une remarque instructive
de la cons´equence triviale du choix que nous avons fait (librement)
meilleur
Fasc. 5, p103, exercice 5.
utile parfois de se rem´emorer :
du nombre des ´echantillons.
3.1. Introduction
Chapitre 4,
paragraphe
d´elimit´e de donn´ees disponibles.
Voir commentaire ci-
dessous, paragraphe 3.2.2.
sera une combinaison lin´eaire des donn´ees disponibles. Par suite,
combinaison lin´eaire .
Aide-M´
eostatistique lin´
le formalisme probabiliste nous donne les moyens de d´eterminer ces
de vue seulement math´ematique, les ´equations correspondantes ne sont
Chapitre 0, paragraphe 1.
trouv´e droit de cit´e dans le monde minier. Le n´eologisme
Krigeage
philosophie du travail.
etapes du krigeage
adjectifs ( simple ,
ordinaire ,
universel . . . )
Par exemple,
signifie-t-il comme en 1975
Krigeage
un risque r´eel de confusion.
krigeages
non le Krigeage comme estimateur, pourvu que ce soit en connaissance
de cause), mais simplement de rappeler un code de bonne conduite,
La quantit´e autour de laquelle gravite tout le formalisme du krigeage
mine, par exemple).
Chapitre 1,
paragraphe 2.3.
au niveau de cette Variable Al´eatoire que nous allons travailler pour
construire le Krigeage.
Etape 1 : contrainte de lin´
earit´
Nous avons choisi de ne travailler que sur des formes lin´eaires de la
par nos choix ant´erieurs, puisque les outils probabilistes dont nous
disposons (esp´erance et variance) ne sauront op´erer que sur de telles
ur, donc convolu´ee ;
mais aussi d´econvolu´ee, d´eriv´ee, int´egrale, etc. ) de la Fonction Al´eatoire.
et il faut en permanence prendre garde au seuil de r´ealisme ; mais
Chapitre 1,
paragraphe 3.4.
fondamentalement, la voie est ouverte.
une pr´esentation math´ematique dans toute sa g´en´eralit´e, on se reportera
Matheron, 1965,
contraintes :
de la fonction al´eatoire ´etudi´ee, par exemple :
combinaison lin´eaire des donn´ees disponibles :
Paragraphe 3.1.
la Fonction Al´eatoire.
(esp´erance et variance), que nous envisageons sur cette erreur, sont bien
Chapitre 3,
paragraphe 2.1.
Aide-M´
eostatistique lin´
´eventuel travail en continu : implicitement, nous supposerons par la suite
Chapitre 3,
lin´eaires sont autoris´ees. Nous avons pr´ec´edemment donn´e les
m´ecanismes de calcul des deux premiers moments de telles expressions.
Chapitre 5,
est autoris´ee si et seulement si son poids total est nul. Cette fois
paragraphe 1.2.
Ces contraintes prendront des formes diverses, au gr´e des futures
contrainte de non
Voir tout cours
de Statistiques.
e, certes un peu trop
Voir au chapitre 7 le
Krigeage Universel.
Cette ´equation introduit une (nouvelle) contrainte sur les inconnues du
Paragraphe 2.1.
Chapitre 4,
paragraphe 1.1.
Paragraphe 3.2.1.
Chapitre 4,
de la Variable R´egionalis´ee. Il faut donc introduire des tol´erances sur
modo, la contrainte math´ematique
esentations
glissantes
, dans Estimer
et Choisir, chapitre VII.
raisonnablement ,
une tonalit´e subjective : nous sommes maintenant au niveau de
on dire que ces erreurs se compenseront globalement.
nombre de contraintes.
dont nous avons convenu pour la G´eostatistique.
Aide-M´
eostatistique lin´
Math´ematiquement, nous savons par les ´etapes 1 et 2 que cette variance
Chapitre 3, paragraphe 3.
Voir par exemple
Matheron, 1970, 1971.
nous admettons cette existence et cette unicit´e. Au point de vue de
son carr´e. Ainsi, sous toutes les contraintes ant´ec´edentes, on cherche
de Krigeage raisonnablement similaires, soit aussi faible que possible
Revenons une nouvelle fois sur les quatre contraintes du krigeage.
Ces contraintes sont, essentiellement, hi´erarchis´ees :
la G´eostatistique lin´eaire) ;
combinaison lin´eaire autoris´ee. Cette contrainte est fondamentale :
suivent sont ipso facto ill´egitimes ;
math´ematiquement, mais elle risque fort de ne pr´esenter aucun
En r´esum´e, et dans cet ordre, les contraintes :
A utorisation
U niversalit´e
O ptimalit´e
serait-ce que pour introduire certains ´el´ements de vocabulaires pass´es
maintenant dans le langage g´eostatistique courant. Mais, la d´emarche
´etant immuable et r´ep´etitive, les pr´esentations seront de plus en plus
3.3. Quelques exemples de krigeage ponctuel
a moyenne connue
voir remarque Chapitre2,
paragraphe1.2. Voir
aussi commentaires
en fin de chapitre.
les quatre contraintes :
combinaisons lin´eaires sont autoris´ees. Pour cette fois, il se trouve donc
active .
nous voulons maintenant que :
La condition est donc automatiquement satisfaite. Pour cette fois, il se
active .
Cette expression se calcule suivant le formalisme classique, et vaut :
Chapitre 3,
paragraphe 2,2.
cette forme quadratique est obtenu en annulant sa d´eriv´ee partielle par
Aide-M´
eostatistique lin´
a moyenne inconnue
active .
nous voulons avoir, conditionnellement aux deux
contraintes pr´ec´edentes :
u nous sommes de cette valeur de m, il
Krigeage
Simple
on ´ecrit que la quantit´e :
esence du facteur 2
devant le multiplicateur
evidemment rien
seule fin de permettre des
eroulement des calculs.
d´eriv´ees partielles de :
La formule usuelle de pr´esentation de ces ´equations est :
Krigeage Simple.
la Variance de Krigeage est :
Aide-M´
eostatistique lin´
est traditionnellement
Comme dernier exemple de krigeage ponctuel, supposons maintenant
Chapitre 5,
paragraphe 1.1.
d´erive. Reprenons encore une fois les quatre ´etapes du Krigeage :
Chapitre 5,
est autoris´ee si et seulement si la somme totale de ses poids est nulle.
paragraphe 1.2.
FAI sans d´erive ,
Chapitre 5,
paragraphe 1.3.
automatiquement satisfaite
Chapitre 5,
variance selon le m´ecanisme de substitution ´etabli pr´ec´edemment. Ainsi :
paragraphe 1.3.
de Krigeage devient :
est lui-aussi appel´e Krigeage
Ordinaire dans la litt´erature.
3.3.4. Quelques commentaires
Krigeage
eflexion.
Krigeage Ordinaire
structurales que des covariances ; au contraire, le
sans d´erive
Krigeage Stationnaire
: en quelque sorte,
qui peut le plus peut le
Ces remarques prendront toute leur importance lors de la double
Chapitres 7 et 8.
, m´ethode qui garantit de toute erreur lors de la
3.4. Propri´
eme de Krigeage
Matheron 1969.
pour cette approche math´ematique.
Journel, 1977.
3.4.1. Le Krigeage, interpolateur exact
ument mentionn´es,
niveau des pond´erateurs de Krigeage, cela veut donc dire que si le point
Krigeage. Le Krigeage est bien un interpolateur exact.
urement plus ´el´egante. Cependant,
inesth´etique, mais parfaitement rigoureuse.
Aide-M´
eostatistique lin´
ponctuelle. Mais, nous le savons, la G´eostatistique Lin´eaire nous autorise
combinaison lin´eaire est la combinaison lin´eaire des Krigeages , soit :
Al´eatoire ´etudi´ee ;
Cette propri´et´e est connue sous le nom de th´
eme de superposition
Quelques exemples :
des Krigeages sur chacun des panneaux (pourvu essentiellement que
Krigeages ponctuels sur ce bloc ;
Krigeages ponctuels :
On peut encore aller plus loin et, par exemple (sous r´eserve de donner
un sens aux d´erivations) :
Paragraphe 3.3.1.
Krigeage Simple
donn´ees. Par lin´earit´e, on en d´eduit imm´ediatement que cette erreur est
Mais alors,
On montre ainsi que
la notion vague :
le krigeage lisse .
stationnaire, puisque
qui ne d´epend pas de x. En revanche, de la relation de lissage, on tire
pas stationnaire.
erance math´
ematique
math´ematique inconnue. On peut se demander si la d´emarche
etre conventionnel du
le lecteur ne sera pas surpris de voir ´ecrit, dans la plupart des ouvrages
Aide-M´
eostatistique lin´
de G´eostatistique,
estimation optimale de la d´erive . Du reste, on
maintenant classiques :
est bien une combinaison lin´eaire des donn´ees, m ´etant un simple
esp´erance inconnue), toutes les combinaisons lin´eaires sont autoris´ees.
quel que soit m. Par cons´equent,
Nous devons donc annuler les d´eriv´ees partielles de :
ce qui, tous calculs d´esormais classiques faits, donne :
Voir ci-dessous quelques
remarques sur les
notations, et en
cette estimation devient :
particulier la d´
efinition
du Multiplicateur
de Lagrange.
La d´emarche
Krigeage (§3.3.2).
Annexe 2.
Notations
la d´esignation de la Covariance Stationnaire (K) fait double emploi
avec celle du Covariogramme G´eom´etrique rencontr´e en G´eostatistique
Transitive. Les risques de confusion sont minimes pour un utilisateur
bibliographiques.
Nous aurions pu en revanche adopter, pour la dur´ee de ce chapitre,
clairement isol´ees.
ur, il en r´esulte une
inconv´enient
est toujours n´egatif !
bonnes
conditions, qui
Commentaires
Chapitre 8.
sera, elle, immuable.
Les Variables R´
egionalis´
ees et leur estimation ,
Matheron, 1965.
Naturellement, nos propos optimistes :
ne doivent pas faire illusion. La pratique nous permet de rencontrer des
Aide-M´
eostatistique lin´
G´eostatistique ne se borne pas au seul Krigeage. . .
Annexe
erance conditionnelle .
Compl´
ements sur le th´
krigeages et les estimations de d´erives.
Chapitre 7
non stationnaires
esentation
stationnarit´e de la Variable R´egionalis´ee ´etudi´ee, et par cons´equent
de la Fonction Al´eatoire associ´ee.
R´egionalis´ee ou Fonction Al´eatoire, et on d´egage les deux
Le second paragraphe d´eveloppe succinctement les techniques
une seconde approche.
rencontr´ees au chapitre pr´ec´edent.
a la non-stationnarit´
ese stationnaire
trouver une voie de solution par les m´ethodes transitives, nous nous
eles globaux non stationnaires
Chapitre 1,
paragraphe 1.2.
fond entre les deux points de vue : Fonction Al´eatoire (math´ematique)
et Variable R´egionalis´ee (physique).
Aide-M´
eostatistique lin´
dans ce cas une propri´et´e purement math´ematique (et rappelons au
Chapitre 1,
paragraphes 3.4-3.6.
physique, autrement dit que les op´erations math´ematiques r´ealis´ees sur
sur la Variable R´egionalis´ee. Soyons plus pr´ecis encore : il faut, puisque
u le principe directeur suivant :
ee directrice de la G´
eostatistique Non Stationnaire
quelque chose
de stationnaire.
quelque chose
stationnaire. Les deux approches que nous allons d´etailler maintenant ne
divergent que par le choix de la m´ethode utilis´ee pour mettre en ´evidence
quelque chose .
bonnes
conditions de
unique ? Est-elle op´eratoire ? Est-elle pertinente ? Cette optique
Chapitre 8.
cas particulier de la seconde.
1.3. Comment tester la non-stationnarit´
non stationnaire.
eles non stationnaires
Beaucoup de r´
etitions,
fois, soulignons que le mot
raisonnablement , qui peut choquer par
certes. Mais ces id´
sont fondamentales
eostatistique, et
eritent cette insistance.
angulaire de la d´emarche du G´eostatisticien. Ainsi, dans le cas pr´ecis
vraie r´eponse
par le G´eostatisticien, en connaissance de cause, en meilleur accord
Chapitre 1,
paragraphes 4.2.
permettant de r´esoudre
tendance ,
r´egionale , ou encore de
composante
forcer la main
tester directement la stationnarit´e empirique de la moyenne sur des
grandes
math´ematiques.
2. Le Krigeage Universel
2.1. La dichotomie
superposition de deux composantes :
commentaires.
2.1.1. Les donn´
ees disponibles
R´egionalis´ee, on suppose que seules sont accessibles des mesures de z(x).
Aide-M´
eostatistique lin´
Pour reprendre la terminologie en usage en G´eostatistique, ou bien cette
2.1.2. Contrainte au niveau de la Variable R´
egionalis´
A tout le moins, on souhaitera s´eparer :
tendance ,
correspondant aux
basses fr´equences
anomalies , correspondant aux
hautes fr´equences .
cas, le souhait du praticien va encore plus loin : on voudra que les deux
Ce qui est beaucoup demander, sans doute trop. . .
2.1.3. Contrainte au niveau de la Fonction Al´
eatoire
de deux raisons distinctes :
stationnarit´e ;
Y (x). Et, cette fois, une contrainte de stationnarit´e sur Y (x) semble
certains cas particuliers
spatio-temporels.
2.1.4. Structure de la D´
tourner
Un hasard heureux,
voire miraculeux. Ou
alors, suspect. . .
niveau de la Variable R´egionalis´ee.
moyenne pond´er´ee par telle fonction, calcul´ee sur tel support, etc.
eles non stationnaires
Mais alors, nous ne sommes plus dans le cadre du Krigeage Universel,
m(x) repr´esente les basses fr´equences. Pour cela, nous allons poser :
est assez limit´e. Disons simplement ici que, dans la quasi-totalit´e
de sorte que m(x) comporte seulement un petit nombre de termes ;
trend surface analysis . On court alors probablement
raisonnablement
sur la forme de la D´erive, mais sur son degr´e de r´egularit´e. Cette vision,
extrapolations interpr´etatives. On se rapproche, cette fois, des m´ethodes
de type fr´equentiel : ce que nous appelons
est alors associ´e
aux basses fr´equences, sans pr´ejuger aucunement ni de leur origine ni de
qui se r´esument en la formule suivante :
al f lx, le nombre de termes du
d´eveloppement est suppos´e connu, les fonctions f lx sont donn´ees,
Aide-M´
eostatistique lin´
Dans les d´eveloppements ci-dessous, nous supposerons connus le
variogramme ou la covariance Sous-Jacente. Naturellement, il se posera
pour le moment, nous voulons seulement montrer que nous sommes
Chapitre 6,
immuable, et respectera les quatre ´etapes
paragraphe 3.2.7.
Dans la d´ecomposition :
Peu vraisemblable :
comment peut-
erance ?
2.2.2. Estimation
les combinaisons lin´eaires admettent esp´erance et variance. La pr´esence
eles non stationnaires
sont inconnus. La seule solution est donc que chacune des expressions
des multiplicateurs de Lagrange. Il y aura cette fois autant de
fonctions de base. Nous devons donc exprimer la nullit´e des d´eriv´ees
eme ainsi construit. La
esentation matricielle
Aide-M´
eostatistique lin´
la sous-matrice carr´ee des covariances sur les donn´ees et compl´et´ee par
Chapitre 8,
de r´egularit´e de cette matrice seront examin´ees ult´erieurement, dans
paragraphes 3.3.
un cadre plus g´en´eral ; dans la pratique, on supposera toujours que ce
eque strict
2.3.1. Particularit´
Chapitre 5,
paragraphes 1.2.
les combinaisons lin´eaires du r´esidu ayant un poids total nul. Il en sera
Rappelons aussi que nous avons convenu de ne travailler que sur des
ur toujours sur la dichotomie :
Chapitre 5,
mais cette fois, seules sont autoris´ees dans le formalisme probabiliste les
paragraphe 1.2.
2.3.2. Estimation
eles non stationnaires
garantir que :
suppl´ementaires :
maintenant minimiser :
Et, avec nos notations habituelles :
esentation matricielle
Aide-M´
eostatistique lin´
2.3.4. Plaidoyer pour une d´
emarche rigoureuse
en particulier que la condition :
Il nous semble pourtant important de souligner la nature originale
revanche est incontournable pour donner une l´egitimit´e et un sens aux
expressions math´ematiques.
Puisque la contrainte
2.4. Propri´
es du Krigeage Universel
2.4.1. Propri´
erales
le KO en ce qui concerne :
Chapitre 6,
paragraphe 3.4.1.
Chapitre 6,
paragraphe 3.4.2.
ependance lin´
eaire des fonctions de base
fonctions de base) :
eles non stationnaires
nuls cl, tels que :
Une condition suffisante
de singularit´
par contraposition,
toutes les donn´ees, alors les cl soient tous nuls :
ecessaire de r´
egularit´
Cette condition est appel´ee ind´
ependance lin´
eaire des fonctions de
base sur les donn´
2.4.3. Une invariance des pond´
erateurs du KU
Ce paragraphe est
esent´
notations en termes
de covariance. Il est
erifier que la
conclusion serait identique
avec un variogramme.
Supposons maintenant que la fonction structurale ne soit plus K, mais
devient alors
Aide-M´
eostatistique lin´
les estimateurs du Krigeage Simple ou du Krigeage Ordinaire. On
Un exercice ´
ementaire.
2.4.4. Propri´
sous la forme :
Mais, par ailleurs,
Ainsi le membre de droite de cette ´egalit´e repr´esente-t-il la covariance
et de la combinaison
Dans le cas particulier du
Krigeage Ordinaire
eles non stationnaires
Krigeage Ordinaire
ponctuel
donn´ees de poids total nul.
Krigeage Simple
, le r´esultat est encore
plus . . . simple :
Voir tout document
aux Simulations
Conditionnelles.
Conditionnelles ).
3. Le statut de la D´
3.1. Introduction
Dans le formalisme du paragraphe pr´ec´edent, la D´erive a ´et´e en grande
partie escamot´ee : on lui a attribu´e un statut d´eterministe, et on a de
ur supposer
ne sommes-nous pas all´es trop loin ? De quel droit associons-nous quasi-
instinctivement la notion de r´egularit´e spatiale qui fonde la D´erive et
cette D´erive soit corr´el´ee avec le r´esidu.
Mais cette d´emarche est purement math´ematique ; si nous avons travaill´e
Les deux questions :
Matheron, 1969 (d) ;
Chauvet, 1982.
Evaluation optimale de la D´
ee directrice
Aide-M´
eostatistique lin´
composante
basses fr´equences
pas franchir le
ealisme !
Si, comme dans toute la G´eostatistique Lin´eaire, nous adoptons les
requiert la connaissance de la fonction structurale, connaissance qui est
pr´ecis´ement notre but ultime. Il y a cercle vicieux. . .
un double but :
proposer une ´evaluation optimale de la D´erive ;
La d´emarche est maintenant bien connue. Nous ne supposons accessibles
Chapitre 6,
Nous garderons par commodit´e le vocabulaire
estimateur
paragraphe 3.5.
ele sous-jacent stationnaire
eles non stationnaires
ependance lin´
eaire des fonctions de base
Paragraphe 2.4.
existe une combinaison lin´eaire des fonctions de base, non identiquement
mesure sont tous situ´es sur une (hyper)courbe de degr´e k alors que
Ainsi par exemple dans R2 :
eque strict
Aide-M´
eostatistique lin´
Le m´ecanisme de cette impossibilit´e se situe dans la condition
0 issu de la vraie
Autrement dit :
3.6. Vers un travail en accroissements
Paragraphe 2.3.4.
capitale au niveau de la D´erive.
En fait, cela ne devrait pas trop nous surprendre. Car nous savons que
Paragraphe 2.3.1.
nous en obtenons ici une illustration exemplaire : dans le d´eveloppement
Chapitre 5,
paragraphe 1.2.
admettent donc esp´erance et variance, et les m´ecanismes de calcul sont
Chapitre 5,
alors connus. De fait, nous sommes ramen´es au calcul en covariance du
paragraphe 1.3.
Fasc. 5, p149-151 ;
Chauvet, 1982,
paragraphe 3.3.
Techniquement, le passage aux accroissements est la r´eponse ad´equate
notions de stationnarit´e.
les d´etails de calculs, et nous d´egagerons surtout les ´etapes de cette
Fasc. 5, p151-155 ;
Chauvet, 1982, chapitre 4.
de documents plus complets.
eles non stationnaires
ele stationnaire
x est donc de la forme :
Chauvet, 1982, Chapitre
2, paragraphe 2.4.
pris s´epar´ement les ´etapes
Aide-M´
eostatistique lin´
Plus pr´ecis´ement (cf. bibliographie), on peut montrer que :
Chauvet, 1982,
paragraphes 3.4.2 & 3.4.3.
Combinaison Lin´eaire Autoris´ee. Quel sens est-il alors possible de lui
eme du terme constant
pseudo-estimateur
Fasc. 5, p176-186.
les ´etapes. Pour les d´etails de calcul, nous renvoyons au Fascicule 5.
Chauvet, 1982,
paragraphe 4.2.
pr´ec´edent (cf. bibliographie).
eatoire
pour que la covariance crois´ee de Y et de M accepte un d´eveloppement
limit´e selon une famille de fonctions de base f l. On se place donc ici
eatoire
eles non stationnaires
de la Fonction Al´eatoire Y .
Conclusion : sous r´eserve seulement de certaines conditions de r´egularit´e,
admettant une covariance.
D´erive. Soit par ailleurs une fonction de pond´eration p, de poids total
1, ayant les propri´et´es de r´egularit´e requises. Posons :
On admettra que M (x) ait les propri´et´es de r´egularit´e exig´ees au §4.3.2,
Nous sommes donc dans les conditions de calcul pr´evues au §4.3.2 pour
estimer M (x) en tant que D´erive al´eatoire.
de M d´epend de p, et encore la contribution de p est-elle focalis´ee sur
la variance du terme constant A0.
Mais on peut aussi simplement consid´erer M (x) comme une convolu´ee
Voir Chauvet 1982,
eflexion
Soulignons seulement que nous nous trouvons dans une situation
critique et la responsabilit´e du G´eostatisticien.
Aide-M´
eostatistique lin´
exactes des §3.5 et 4.2.
Soit encore une fonction de pond´eration p, de poids total 1, et ayant de
bonnes propri´et´es de r´egularit´e . On peut ´ecrire :
bonnes propri´et´es
que ces estimateurs ne d´ependent pas de la fonction de pond´eration
Paragraphe 4.2.
puisque le r´esultat ne d´epend pas de cette pond´eration, et que seule sa
4.3.7. Dernier regard sur la D´
sait bien empiriquement distinguer entre deux Variables R´egionalis´ees
cons´equence in´eluctable de la dichotomie qui nous a servi de point
cass´ee en deux
stationnaires, ce que nous ferons dans le prochain chapitre.
5. Compl´
emes du Krigeage Universel
ese et notations
Dans toute la suite du chapitre, nous supposerons la matrice du Krigeage
eles non stationnaires
5.2. Matrice inverse du Krigeage Universel
on peut d´eduire
soit explicitement :
avec les notations du §4.1. Cequi permet ainsi de pr´eciser la composition
de la matrice inverse du KU :
Aide-M´
eostatistique lin´
equence : additivit´
e des estimations
Appliquons cette expression de la matrice inverse au Krigeage Universel
proprement dit :
Chapitre 6,
Krigeage Simple
paragraphe 3.3.1.
kriger (au sens du Krigeage Simple) les r´esidus estim´es optimaux comme
(moindres carr´es, splines, etc. ).
eles non stationnaires
5.4. Correction de D´
Posons
Cette quantit´e est appel´ee terme de correction de d´
erive. On note que,
combinaison lin´eaire des donn´ees :
Un exercice ´
ementaire,
superposition des figures
de Krigeage,
Chapitre 6,
paragraphe 3.4.2.
Paragraphe 4.1.
et on retrouve ainsi
5.5. Additivit´
e des variances
imm´ediatement
Paragraphe 2.4.4.
de Krigeage Simple est de covariance nulle avec toute combinaison
lin´eaire des donn´ees, et donc en particulier avec Z . Finalement,
Aide-M´
eostatistique lin´
ou plus simplement, avec les notations usuelles :
ce qui prouve au passage que
En explicitant Z
par [7], on obtient pour d´eveloppement de
la somme double
Paragraphe 4.1.
5.6. Commentaires
Voir annexe en seconde
e susbsiste dans le cas
partie de document.
certaines approches th´eoriques, comme on le verra par exemple lors de
eles non stationnaires
ele, et encore !...
optimal. Force nous est de nous rabattre sur des estimateurs moins
performants. Encore faudra-t-il ensuite ´etablir quelles sont les relations
structurale de ces r´esidus estim´es.
Il faut ´evidemment choisir des fonctions de base telles que la matrice :
admette un inverse Ssl. Alors :
u Z(x) admet une covariance.
Aide-M´
eostatistique lin´
6.2. Le variogramme des r´
esidus
x. Ipso facto, nous
dont nous pouvons exprimer le variogramme (ou ´eventuellement la
ce variogramme des r´
esidus, et le Variogramme Sous-Jacent.
des r´esidus
Une observation ´el´ementaire doit nous rendre a priori pessimistes quant
covariance. Il y a donc a priori loin des propri´et´es des r´esidus vrais aux
propri´et´es des r´esidus estim´es.
Fasc. 5, p155-157 ;
Matheron 1970.
cependant une remarque.
certain voisinage de x. Pour chaque jeu de donn´ees, regroup´ees en un
r´esidus exp´erimentaux, sur lesquels on peut calculer un Variogramme
Sous-Jacent p´epitique pur (bruit blanc).
eles non stationnaires
Variogramme des R´esidus pr´esente un biais syst´ematique par rapport
au Variogramme Sous-Jacent : le Variogramme des R´esidus est toujours
inf´erieur au Variogramme Sous-Jacent.
essentielle et insurmontable.
ce r´esultat est bien plus r´ev´elateur de la taille du voisinage de travail
etermination
Matheron 1970.
que la relation nous aurait int´eress´es en pratique ; nous aurions voulu
pouvoir associer, par un algorithme direct, un et un seul Variogramme
Matheron 1970.
6.5. Conclusion provisoire
du Krigeage Universel, du moins en ce qui concerne la Variographie.
parti-pris de dichotomie qui est en cause.
quelque g´en´eralit´e qui pourrait proposer une Analyse Variographique
Nous aimerions que toutes ces remarques soient prises dans un sens
Aide-M´
eostatistique lin´
constitue une bonne gymnastique du sens critique. Ensuite parce que
comme une n´egation du Krigeage Universel, mais au contraire comme
Commentaires
Les d´eveloppements th´eoriques du formalisme du Krigeage Universel
pour le travail en Voisinage Glissant, que les estimateurs optimaux
Fasc. 5, p153-155.
evidemment plus vrai
transformation non
bijective, comme par
exemple une projection.
est ind´ependante de cet ´el´ement arbitraire
travail multivariable, qui en particulier se r´epercute sur la condition
Conclusion
En conclusion de ce chapitre, nous souhaiterions avant tout que le lecteur
seulement partielle !
de fond sont r´eels, existent, et le praticien ne manquera pas de les
synonyme de le r´esoudre. . .
Bibliographie
Chapitre 4 du Fascicule 5. Rappelons toutefois que les notations y
Universal Kriging , P. Chauvet & A. Galli, 1982.
eles non stationnaires
des R´esidus.
Le Krigeage Universel , G. Matheron, 1969.
plus d´evelopp´e au niveau th´eorique (espaces de Hilbert), mais qui
Annexe
Compl´
ements sur le th´
Aspect dual du Krigeage Universel .
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 8
esentation
un formalisme unique.
Au premier paragraphe, on explicite la seconde approche possible
Repr´esentation
paragraphe une approche non probabiliste des formulations
1. Introduction aux FAI-k
ee directrice
Chapitre 7,
paragraphe 1.2.
une transformation de la Variable R´egionalis´ee (respectivement : de
quelque chose
En fait, on peut se convaincre que cette id´ee de transformer les donn´ees
possible de g´en´eraliser cette d´emarche ?
Pour la suite de
Matheron, 1971.
1.2. Vers des Combinaisons Lin´
eaires Autoris´
En r´ealit´e, dans la d´emarche de la G´eostatistique Lin´eaire, ce qui nous
de la Fonction Al´eatoire.
Aide-M´
eostatistique lin´
Rappelons que nous avons
choisi de ne pas parler des
combinaison lin´eaire admet une variance :
emes de convergence
rencontr´
eventuellement
support non born´
alors ainsi : peut-on trouver des familles plus exigeantes encore de CLA
fonction structurale K assurant que :
pouvons tout de suite contraindre cette
super fonction structurale
On voudrait retrouver tous les attributs de la
r´eduite de combinaisons lin´eaires.
Ainsi, non seulement on exige que ces (futures) CLA aient une variance,
Cette contrainte est lourde de cons´equences. Car la stationnarit´e
au nombre fini de points
continu ne poserait pas
eme particulier
ehension.
De fait, on exige une propri´et´e non triviale : la stabilit´e par translation
ou, en notation continue :
lin´eaires sur les coordonn´ees ;
pr´ec´edentes.
On retrouve exactement la structure des contraintes rencontr´ees dans
le Krigeage Universel ; la nouveaut´e essentielle est que cette fois, ces
Dans la pratique, on prendra presque toujours comme fonctions de
appel´ees Combinaisons Lin´
eaires Autoris´
(CLA-k).
Dans certains cas beaucoup plus rares, on pourrait aussi prendre une
trigonom´etriques.
La notion de CLA-k est ind´ependante de toute interpr´etation
erification facile,
propos´
1.4. FAI-k et repr´
esentation
1.4.1. Notations
Equivalence
chacun des termes de la relation.
Aide-M´
eostatistique lin´
Nous respecterons une distinction de notations entre la Fonction
g´eographique
donn´ees pour une Fonction Al´
Fonction Al´eatoire non stationnaire Z(x) telle que, pour toute mesure
contact
avec la variable z(x) ´etudi´ee.
1.4.4. Repr´
FAI-k est donc pris
efinition.
Nous ne sommes pas
construction soit possible.
des ´etudes th´eoriques futures, et la Fonction Al´eatoire non stationnaire
Z(x) cens´ee mod´eliser la Variable R´egionalis´ee. Il nous faut donc ´etablir
Equivalence entre les deux d´
Z, la Fonction
Z. Mais il est en fait possible de
faire mieux, et de donner la caract´erisation de toutes les Repr´esentations
esentations : ´
enonc´
Z admet des Repr´esentations.
les autres Repr´esentations Z1(x) est donn´ee par :
u les Al sont des Variables Al´eatoires quelconques.
partie du document.
´etapes suivantes :
Fonctions Al´eatoires non stationnaires : deux FA non stationnaires seront
de ses Repr´esentations.
1.4.7. Application : caract´
On appellera caract´
probabiliste qui ne d´epend que de la FAI-k et pas de celle de ses
des informations
Rappelons que dans
le cadre du KU, ces
conditions peuvent
avoir le sens de
d´eveloppement probabiliste.
Aide-M´
eostatistique lin´
1.4.8. Un exemple
1 dimension, nous disposons de quatre Variables R´egionalis´ees, que nous
pouvons interpr´eter comme R´ealisations de quatre Fonctions Al´eatoires
sont des CLA-0.
Ainsi, les courbes (1) et (2) sont R´ealisations de deux Repr´esentations
aux quatre courbes pr´esent´ees ici.
Ce sont tout aussi
r´esidus universels, pour une d´erive du premier degr´e, de la courbe (1).
courbes (2) ou (3).
la d´emarche du Krigeage Universel : la courbe initiale, et la courbe
toutes les Repr´esentations, on comprend les
1.4.9. Commentaire sur les CLA-k
op´erant sur des accroissements, les m´ethodes
Chauvet, 1987 (b).
m´ethodes de s´eries chronologiques.
Continuons cette interpr´etation peu rigoureuse.
Accroissement
2. Covariances G´
eralis´
eme fondamental
ur, par r´ecurrence, elle est ´egalement une Fonction Al´eatoire
Paragraphe 1.4.3.
u le r´esultat :
2.2. Covariance G´
eralis´
Covariance G´en´eralis´ee
Mais pour le moment,
nous ne savons pas si
cette fonction existe.
Z est sans d´erive, que cette formule g´en´erale
Aide-M´
eostatistique lin´
limite de moyenne spatiale.
comme suit :
Matheron, 1971
Matheron, 1971
Un r´esultat interm´ediaire est important en pratique. On d´emontre en
Mieux encore, la condition :
Chapitre 5,
Z soit sans d´erive. On
paragraphe 1.4.
2.4. Fonctions de type positif conditionnel
une quantit´e toujours positive ou nulle. Ainsi :
conditionnel
Justification de la notation
adopt´
chapitres pr´
edents.
Nous avons vu que toute Covariance G´en´eralis´ee est de type positif
conditionnel. Inversement, pour toute fonction sym´etrique de type positif
Matheron, 1971
positif conditionnel strict si et seulement si :
identiquement nulle.
et on d´emontre que seuls parmi les fonctions continues et sym´etriques,
Matheron, 1971
donn´ee dans la bibliographie. Il est naturellement ´evident, puisque
Matheron, 1971
eostatistique.
Tout est en place d´esormais pour exprimer le Krigeage dans le cadre
Chapitre 6,
paragraphe 3.2.7.
encore, au cas du Krigeage ponctuel.
combinaison lin´eaire des donn´ees, donc
Aide-M´
eostatistique lin´
minimiser la quantit´e :
ce qui, tous calculs faits, donne
Mais il est encore beaucoup plus simple de remarquer que, pour toute
egle de substitution,
Combinaison Lin´eaire Autoris´ee, la variance se calcule COMME SI il
du Chapitre 5,
paragraphe 1.3.
celle-ci par la Covariance G´en´eralis´ee.
et la variance :
Sous forme matricielle :
x ont cette fois le sens de conditions
A ce propos, il nous semble
Chapitre 7,
Krigeage Universel.
paragraphe 2.3.4.
3.3. Propri´
orthogonalit´e et lissage) rencontr´ees dans le cadre stationnaire strict
Chapitre 6,
paragraphe 3.4.3.
peuvent trouver leur expression la plus g´en´erale dans le formalisme de
eme de Krigeage
imm´ediatement :
ou, plus explicitement :
3.3.2. Orthogonalit´
Aide-M´
eostatistique lin´
(1) : par bilin´earit´e de la covariance ;
pr´esent au niveau des seuls Krigeages
simple
ordinaire
est de covariance nulle avec toute Combinaison
Lin´eaire Autoris´ee des donn´ees
3.3.3. Lissage
espace vectoriel.
covariance nulle avec toute CLA des donn´ees, donc en particulier avec
ce qui implique
3.4. Conditions de r´
egularit´
eme de Krigeage
ur clair que cet ´enonc´e pourra se
transposer sans peine au cas du Krigeage Universel.
seulement si :
sur les donn´ees.
Interpolateur Exact.
esentation duale du Krigeage
4.1. Le Krigeage comme interpolateur
De plus, ces fonctions sont des combinaisons lin´eaires des expressions
donc ´ecrire :
Aide-M´
eostatistique lin´
ainsi comme un interpolateur, sans connotation probabiliste, auquel on
eme de Krigeage dual
des fonctions de x :
interpr´etation probabiliste, en particulier la notion de variance.
4.3. Interpr´
etation des ´
equations duales
conditions suivantes :
soit Compatible avec
les D´erives f lx.
4.3.3. Caract´
soit n´ecessaire pour garantir
interpolateur unique.
ur, cet interpolateur satisfait aux conditions du
paragraphe 4.3.1.
points de donn´ees.
Matheron, 1980.
une d´emarche qui privil´egie les
contraintes amont
Aide-M´
eostatistique lin´
privil´egie les
contraintes aval
Bibliographie
eorie des Fonctions Al´
eatoires G´
eralis´
Matheron, 1971.
Les Fonctions Al´
prise de contact avec les FAI-k, de reprendre la bibliographie consacr´ee
Splines et Krigeage : leur ´
equivalence formelle ,
Matheron, 1980.
Remarques sur le Krigeage et son dual , Matheron,
Comment translater les catastrophes ou la structure
des Fonctions Al´
erales ,
Matheron, 1979.
Dans un autre esprit, mentionnons une abondante bibliographie
directions les plus diverses, par exemple :
egalit´
es , Langlais,
Krigeage de variables reli´ees par des ´equations :
Estimation g´
eostatistique de ph´
equations aux d´
ees partielles , Dong, 1990.
Krigeage Trigonom´etrique :
eostatistique des ph´
eriodique ,
S´eguret, 1991.
Annexe
emonstration du th´
esentations .
Equivalence Spline-Krigeage .
Etude de la bathym´
Aide-M´
eostatistique lin´
Figure 1
Chapitre 9
Introduction
eostatistique
Multivariable
esentation
G´eostatistique Lin´eaire, nous conclurons cette partie du document par
approfondissement du sujet.
on pr´esente les principales propri´et´es des covariances crois´ees, en en
soulignant certaines nouveaut´es par rapport au cas monovariable, et
multivariable. Les propri´et´es essentielles du cokrigeage, ainsi que
ot un recueil de formules,
surtout en ´evidence les risques, dans une approche qui comporte des
franchir le seuil de r´ealisme.
sommairement pr´esent´ee comme alternative possible au cokrigeage.
eme et notations
1.1. Remarque pr´
eliminaire
Aide-M´
eostatistique lin´
´el´ementaires
´el´ementaires
ele gigogne.
on peut par exemple envisager que la Fonction Al´eatoire Z dont z est
r´ealisation soit la somme de Fonctions Al´eatoires Z ind´ependantes, de
seul possible : tout au plus est-il COMPATIBLE avec la d´ecomposition
individuellement les composantes Z : cette technique, appel´ee analyse
Chapitre 1,
paragraphe 4.3.
de Reconstruction Op´eratoire, les d´eveloppements th´eoriques peuvent
Chapitre 7,
paragraphe 6.2.
pr´ecautions, de travailler sur des r´esidus estim´es (non optimaux) en
Z, sont li´ees par une
Chapitre 5,
de Changement de Support. Naturellement, dans ce cas, il est ´evident
paragraphe 3.2.
Z est cette fois
eostatistique Multivariable
et campagnes g´eophysiques), m´et´eorologie (vent, pression, temp´erature,
coupl´ees par des relations physiques simples (puissances partielles
et totale dans une structure s´edimentaire. . . ) ou moins simples
hydrog´eologie. . . ) : la combinatoire est immense, ce qui laisse pr´esager
situations envisageables :
concerne la nature des variables que leur ´echantillonnage ;
r´epertori´es sous le terme g´en´erique de cokrigeage ;
spatiale de chacune des variables consid´er´ees s´epar´ement, mais
egionalisation. On devine que cette ´etape sera d´ecisive pour
statistique comme de formalisation th´eorique, nous devons plus que
jamais nous pr´eoccuper du Seuil de R´ealisme de nos manipulations, et
Chapitre 1,
paragraphe 1.3.
Economie.
Chapitre 1,
paragraphe 4.2.
ecessit´
ele multivariable : un exemple simpliste
mod´elisation est une condition n´ecessaire de validit´e de tout travail g´eostatistique.
Aide-M´
eostatistique lin´
pour cette faute est alors le risque de voir surgir des variances n´egatives
en cours de calcul. En multivariable, on peut imaginer des incoh´erences
respectives K
que la covariance K
consacr´ee, de trois
Krigeages Simples , r´ealis´es en r´esolvant trois
covariances respectives K , K
. Les solutions, imm´ediates,
une seule inconnue. . .
Voir Chapitre 6,
paragraphe 3.3.1.
interdiction absolue : on
particuliers de covariances
monovariables qui assurent
erence entre les
estimateurs de krigeages
(voir paragraphe 5.8).
Chapitre 6,
paragraphe 3.4.2.
composantes ne sont jamais connues que par leur somme).
Car, sous r´eserve naturellement que les deux covariances K
eostatistique Multivariable
non satisfaisant : le
couplage
entre ces variables (ce couplage existe,
les d´eveloppements th´eoriques en seront un peu compliqu´es. Bien
urement plus
1.3. Deux consid´
erations g´
erales sur le multivariable
u toutes les composantes de la Fonction
ne sont connues que quelques-unes des composantes.
Matheron, 1982.
Ch. Lajaunie &
R. Bejaoui, 1991.
Matheron, 1982, p10.
g´eographique
les notations. Il est commode de se laisser porter par les ´ecritures
travail. Cette transposition de formalismes devenus classiques en
Aide-M´
eostatistique lin´
fond. Autant dire les choses avec humour :
Du point de vue conceptuel,
plus complexes
euph´emisme. . .
1.4. Notations
Al´eatoire ´etudi´ee (et z pour la Variable R´egionalis´ee associ´ee). Mais
ensemble de d Fonctions Al´eatoires, en g´en´eral non ind´ependantes,
famille de fonctions
{1, 2, . . . , d} des indices d´esignant les variables.
g´eographique
u est connue la variable z .
Pour adopter des notations rigoureuses, on a alors
z est connue au point x
donc au nombre de d) sont distincts ;
u elle est connue. Soit :
z est connue au point (x, i)
Soulign´e par G. Matheron.
eostatistique Multivariable
Krigeage Universel, pour la description du d´eveloppement de la D´erive.
En ce qui concerne les covariances, nous adopterons une notation unique :
Pour des raisons qui
nous ferons peu usage
les variables de la fonction ; soit
des variogrammes
dans ce chapitre.
ee, dont on suppose
g´en´erale portant sur la Fonction Al´eatoire Z (respectivement : sur la
respectivement :
2. Mise en place de la fonction structurale
erance nulle
au paragraphe pr´ec´edent sont des CLA. Autrement dit, toutes ces
la condition
implique que toutes ces CLA sont
que toutes ces (co)variances3 sont invariantes par translation dans
Il est ´evident que la condition de stationnarit´e sur chacune des variables
Aide-M´
eostatistique lin´
fonctions qui ne d´ependent donc que de h, quels que soient i et j. On
extr´emit´e .
2.2. Propri´
ementaires des covariances crois´
des ´etudes. En particulier, la notation
repr´esentera une valeur
stationnaires se pr´esentent alors comme une g´en´eralisation de celles de
Chapitre 3,
covariance monovariable, dont elle a par cons´equent toutes les
paragraphe 2.3.
propri´et´es th´eoriques ;
g´eographique
leur fonction de Covariance Crois´ee K (h) est identiquement nulle :
Paragraphe 6.
Paragraphe 2.1.
En fait, les exemples
ne manquent pas. En
facteur temps intervient,
une dissym´
etrie entre
causes et effets. . .
moyenne quadratique.
eostatistique Multivariable
ici de covariances de VA r´eelles, les covariances de VA complexes
est la matrice de variances-covariances du vecteur al´eatoire Z (x)
Pour rappeler cette propri´et´e, on peut adopter une ´ecriture plus
proche des statistiques, et noter
type positif. Toutefois, dans la pratique de la Variographie, on
il est par ailleurs beaucoup plus intuitif de travailler sur le seul
espace
Mais en ce qui concerne la mod´elisation, il ne faudra pas oublier que
s´erieuse complication par rapport au cas monovariable.
Aide-M´
eostatistique lin´
eque strict
R´egionalis´ees (ou de Fonctions Al´eatoires) par des accroissements.
est ainsi le variogramme crois´
en posant classiquement, pour all´eger les ´ecritures et mieux mettre en
usuelles en calcul
erences finies.
Cette expression [12] appelle deux remarques :
seulement on sait que la covariance des accroissements existe, mais
plus g´en´eral comme la fonction
bien que simple variance, permet de calculer toutes les COvariances
exprimer des quantit´es de la forme6
eostatistique Multivariable
variance de toutes les CLA en termes de variogrammes crois´es, sauf dans
a priori inad´equate pour entreprendre des estimations multivariables en
toute g´en´eralit´e.
2.4. Liens entre covariances et variogrammes crois´
est une fonction paire, qui de ce fait ne
pas les D´ecalages entre
covariances crois´ees (lorsque celles-ci existent, naturellement).
Ainsi, le variogramme crois´e ne
que la composante paire des
Covariances Crois´ees. On en conclut que le variogramme crois´e ne sera
un outil op´eratoire que dans le cas particulier de variables ne pr´esentant
pas de D´ecalages entre elles.
Variogramme Crois´e est beaucoup plus contraignant que la Covariance
spatiale de produits de la forme
variogramme crois´e, on perd sur tous les tableaux7 .
praticiens, certains auteurs ont voulu introduire une notion hybride de
e dans Wackernagel,
pseudo-variogramme crois´e
naturel que cette fonction permette de calculer toutes les covariances
De fait, nous nous
retrouvons dans le cas
bien connu du cas monovariable. Cependant, au niveau physique, il
monovariable, seul a
chang´
isotopique, le calcul
erimental de telles
elicat.
Aide-M´
eostatistique lin´
variogramme crois´e, qui ne laissent aucun espoir en g´en´eral de pouvoir
ne sera en revanche pas abord´ee dans ce document.
erances nulles
eme de cokrigeage simple
premier cokrigeage : le point de vue explicit´e au paragraphe 1.4,
Chapitre 6,
Krigeage Simple
paragraphe 3.3.1.
des Covariances crois´ees.
Paragraphe 1.4.
Si on adopte comme convenu des ´ecritures en termes de mesures,
est de la forme g´en´erale
Naturellement, la mesure
solution des ´
equations
est fonction de la
variable cible et du
eographique cible.
Cokrigeage Simple
est donc donn´e par
et la variance de cokrigeage correspondante est
multivariable en termes de FAI-k.
eostatistique Multivariable
Remarques sur les notations :
Paragraphe 1.4.
d´esormais de pr´eciser les domaines de sommations, ´etant bien
g´eographique
dans la pratique, le Cokrigeage
simple
estimation.
3.2. Propri´
simple
ne repr´esentent rien de nouveau au plan th´eorique : le point de
permet
pr´ec´edents. Mais comme les notations sont parfois un peu embrouill´ees,
nulles
pour r´ecapituler une fois pour toutes ces propri´et´es qui nous
g´en´eral pr´esent´ee sous la forme :
de donn´ees courants, respectivement dans S et S .)
Paragraphe 1.4.
3.2.2. Conditions de r´
egularit´
covariances K soit de type positif strict.
Cette matrice est
trivialement sym´
etrique,
y compris dans
le cas complexe.
Paragraphe 3.1.
vide sans pour autant que cela implique n´ecessairement la singularit´e
Aide-M´
eostatistique lin´
facile exercice.
au niveau strictement math´ematique, mais qui semblent imprudents
g´eostatistique monovariable.
eparation des variables
les Covariances Crois´ees sont toutes identiquement nulles, et la matrice
eparation des variables, et il est imm´ediat de voir que pour
Krigeage Simple
(monovariable) sur la variable i , les donn´ees relatives aux autres
ne pouvant apporter aucune information. Incidemment, cette S´eparation
Toujours cette propri´
acceptable certes, mais bien peu r´ealiste10 .
le temps calcul requis. Aussi dans la pratique, on cherchera autant
eostatistique Multivariable
Paragraphe 5.
toujours dans le cadre FASt-2 sans d´erive pour ´eviter les surcharges
de notations.
3.2.4. Le cokrigeage, interpolateur exact
u elle est connue, non
seulement les valeurs de donn´ees de cette variable en tous les autres
presque ´evidente dans le cas du Cokrigeage Universel.
est suppos´e r´egulier.
en convenir, est souvent lourde et de manipulation d´elicate. Aussi
longtemps naturellement que les variables manipul´ees sont reli´ees par
des op´erations lin´eaires, on est assur´e par le formalisme du Cokrigeage
de retrouver au niveau des estimateurs les liens existant au niveau
Le parti-pris de consid´erer le cas multivariable comme du monovariable
Chapitre 7,
paragraphe 2.4.4.
Cokrigeage
Simple
erale sur le cokrigeage
Bien que nous ne soyons encore actuellement que dans le cadre le plus
le Cokrigeage risquait de se heurter au Seuil de R´ealisme. Dans la
Aide-M´
eostatistique lin´
pour respecter la terminologie de
Estimer et Choisir , la
pr´esentant deux ou trois structures (gigognes) imbriqu´ees et quelques
pr´ef´erable, de travailler sur des Covariances Crois´ees, il faut pr´evoir
le Cokrigeage est
gourmand
sont souvent num´eriquement plus instables que les variogrammes
utilis´es pour repr´esenter des cor´egionalisations sont probablement trop
pour enrichir th´eoriquement la phase de mod´elisation.
variance th´eorique de krigeage. Rien dans le processus de Variographie
savoir revenir chaque fois que possible aux donn´ees physiques, et garder
saurait pas faire un usage raisonnable, peut se r´ev´eler beaucoup plus
Chapitre 3,
qui ´elargit une ancienne observation sur les limites de la G´eostatistique
paragraphe 3.3.
Terminologie un peu
estime ; mais cette
rupture de sym´etrie
semble venir un peu tard : en
provocante, emprunt´
la physique contemporaine.
distingue par exemple une
variables
explicatives , et il semblerait souvent essentiel de faire comprendre au
(quelques donn´ees aux puits, des milliers de donn´ees g´eophysiques), aux
eostatistique Multivariable
le reste consistant seulement en donn´ees de radioactivit´e), etc. On peut
Dans cette optique, il est l´egitime de consid´erer que le Krigeage
Chapitre 7.
paragraphe 4.3.
deux alternatives au Cokrigeage. Nous en proposerons une autre dans
recette , et de d´esigner le
bon choix . Bien au contraire, il
faut rappeler que les choix m´ethodologiques demeurent de la seule
etition, certes,
une fois de plus ; mais
probablement utile ! (cf.
Chapitre 1, paragraphe 1.)
parfois nous aider, et encore, pas toujours loyalement !
ur inspir´ees
lesquels nous met en garde G.Matheron.
Lorsque les donn´ees disponibles pour une ´etude multivariable sont assez
proches du cas isotopique11 , il semble raisonnable de penser que la prise
dans deux cas :
strat´egie multivariable , on
u les variables se pr´esentent sur un
contraire, les situations fortement hi´erarchis´ees (variables pr´e´eminentes,
des m´ethodes plus
Plus encore que dans la G´eostatistique monovariable, le doigt´e (pour ne pas dire le
proximit´e
Aide-M´
eostatistique lin´
´etant trop
d´evelopper maintenant le Cokrigeage dans son cadre le plus g´en´eral.
4. Le cokrigeage universel
Les commentaires pr´ec´edents sur les propri´et´es du Variogramme Crois´e
Paragraphe 1.4.
de la variable i au point x , on obtient le jeu de contraintes :
Cette dialectique est
typiquement celle
e rencontr´
eostatistique
eque, chapitre 8.
fonctions
simplistes de cette condition seront rencontr´ees ult´erieurement.
eostatistique Multivariable
equations du cokrigeage universel
4.2.1. Description de la d´
m (x) par un d´eveloppement ad hoc (on adopterait donc le point de Paragraphe 1.4.
evelopp´
au paragraphe 5,
pour introduire la
n´egligeable pour la lisibilit´e des calculs et des r´esultats.
Cependant, en toute g´en´eralit´e, le plus simple est de se laisser une
nouvelle fois guider par le point de vue
les ´ecritures d´esormais classiques du Krigeage Universel. On suppose
donc que la FA Z peut se d´ecomposer sous la forme
m(x, i) admet le d´eveloppement [7] :
Paragraphe 1.4.
Le seul point constituant une nouveaut´e est la description de la d´erive :
Comme exemple de lien
erives, on pourrait
par exemple imaginer que
que deux variables aient
erive en commun
Pour illustrer ces propos sans doute un peu abstraits, nous pouvons
pr´esenter un exemple simple : le cas de deux variables consid´er´ees dans
g´eographique
ind´ependantes. Supposons ainsi que m(x, 1) soit de degr´e k , et
la pratique, la plus grande robustesse du variogramme crois´e lui conserve des
du multivariable ne sera pas examin´e ici.
Aide-M´
eostatistique lin´
m(x, 2) de degr´e k . Alors, la famille des fonctions de base contient
Cette fois, on pourra prendre la famille
la d´eriv´ee de m(x, 1). En supposant m(x, 1) de degr´e k, la relation
sera prise en compte par la famille
ur envisager des
couplages
encore plus exotiques.
Mais le formalisme adopt´e rend inutiles des d´eveloppements particuliers,
choisie judicieusement.
Par commodit´e, on d´esignera dans la suite par k le nombre de Fonctions
Avec les choix de notations qui ont ´et´e faits, il est inutile de d´evelopper
Chapitre 7,
paragraphe 3.3.
eostatistique Multivariable
Une affirmation certes
parfaitement exacte, mais
purement acad´
emique
voire esth´
etisante, et
et [18] r´esument la totalit´e des krigeages que nous avons rencontr´es dans
le pr´esent document. . .
4.3. Compl´
ements sur le cokrigeage universel
4.3.1. Propri´
ebriques du cokrigeage universel
propri´et´es qui en d´ecoulent sont imm´ediates :
Comme toujours, ces
propri´
erifient
instantan´
que cette propri´et´e essentielle est une des principales raisons de
erification vaut
emonstration lorsque
egulier.
Aide-M´
eostatistique lin´
egularit´
Annexe 5.
lin´eaires sont autoris´ees. Aussi, par
conditionnel , il faut comprendre
positive conditionnelle stricte
Paragraphe 4.2.1.
des Fonctions de Base sur les Donn´ees.
sont satisfaites simultan´ement les deux conditions :
plus naturelle dans certains cas particuliers, par exemple lorsque toutes
Paragraphe 1.4.
famille de fonctions de base commune.
seul d´eveloppement
Le point important dans
eostatistique Multivariable
Avec ces notations, on retrouve classiquement :
couplage
´eventuel
des variables.
esentation duale du cokrigeage universel
imm´ediatement pour la forme duale du Cokrigeage Universel une
Simple transcription
ecritures du
expression du type
cas monovariable,
etablies en annexe 3.
en adoptant ici encore une notation par des mesures. Cette expression
manipulations algorithmiques qui faciliteront les calculs.
Cet exemple est tir´
fasc. 5, pp207-208.
et simultan´ement
Base et sont alg´ebriquement ind´ependantes.
Aide-M´
eostatistique lin´
Paragraphe 3.2.3.
simple ),
eparation des
Fasc. 5, p207-208.
Paragraphe 1.4.
de pr´esenter le d´eveloppement de chaque D´erive sous la forme :
Dans cette ´ecriture, le num´ero de la variable est consid´er´e comme un
5.2. Principal r´
esultat
tous les d´eveloppements de calcul. Mais les notations sont forc´ement
r´ebarbatives, et peuvent masquer le cheminement de la construction et
le sens des formules obtenues.
alg´ebrique des fonctions de base) :
de cette famille
´etablies pour les multiplicateurs de Lagrange, ainsi que pour les
Naturellement, comme la matrice B est essentiellement suppos´ee
eostatistique Multivariable
de S´eparation des Variables lorsque les FA sont mutuellement
Paragraphe 3.2.3.
Z (y) ind´ependantes, alors
5.3. Adaptation des notations : cokrigeage
simultan´ement les estimations de plusieurs composantes. Il nous faut
difficult´
es de notations
eelles
plaisant que la recherche
cokrigeage commence par
ecritures. . .
composante u (en dy) qui intervient dans le Cokrigeage de la composante
g´eographique
; on a cependant
Il faut ´egalement indicer en i (et x ) les multiplicateurs de Lagrange.
´etant entendu que
rester coh´erent avec le point de vue adopt´e dans ce paragraphe,
Aide-M´
eostatistique lin´
En revanche, sur les donn´ees de Z , les poids satisfont aux conditions
erives
et prennent la forme
donn´ees dans V (pour chacune des d variables), on dispose donc de
Incidemment, on peut regrouper les expressions [25], [26] et [27] pour
retrouver la relation classique
5.5. Transformation lin´
ere des variables
B de dimension
eostatistique Multivariable
La matrice B ´etant inversible, il y a sym´etrie parfaite entre les Z et les
expressions [30].
fonction de covariance K).
Z, et r´eciproquement ;
Z sont alg´ebriquement ind´ependantes, comme
Aide-M´
eostatistique lin´
Ainsi, toutes les constructions qui seront faites sur la famille initiale
5.6. Cokrigeage des variables transform´
Comme premier exemple de la proposition pr´ec´edente, on peut transcrire
en mettant en relief les id´ees directrices :
eostatistique Multivariable
Z sont identiques. Par suite, Ces deux conditions de
bijectivit´
sur cet espace de Hilbert) est unique, et seule change sa formulation
evidemment
essentielles pour
garantir le r´
esultat.
d´emonstration :
le Cokrigeage en termes de Z et en
Ensuite,
B ([31]), on obtient
Aide-M´
eostatistique lin´
dont on ´etablit imm´ediatement la forme duale :
etapes peuvent
Lagrange
etaill´
peu instructif. . . ).
1. on injecte la formule de transformation [35] dans les
variables transform´ees ([34]) ;
type B B , et on somme en j et i ;
en termes de fonctions de covariances K ;
Lagrange.
Autre exercice, peu
Remarque : ces formules de transformation [35] et [36] auraient
gratifiant, de virtuosit´
sur les indices.
de cokrigeage. . .
erives des variables transform´
Paragraphe 5.2.
Rappelons que a
On obtient ainsi :
En ce qui concerne les multiplicateurs de Lagrange, on peut garder
eostatistique Multivariable
et injecter dans cette relation les formules de transformation [37]. Les
5.8. Application : la corr´
r´eelles : on suppose que toutes les fonctions structurales (covariances et
Naturellement, dans la pratique, on travaillera dans le cadre stationnaire,
de sorte que cette relation sera en fait
doit retrouver une fonction de covariance (monovariable), il est clair que
fonctions structurales (et par suite les D´ecalages, de sorte que ce cadre
5.8.2. Transformation des variables
(isotopie, fonctions de base communes aux variables, ind´ependance
alg´ebrique des d´erives)15 .
La construction des sous-paragraphes 5.8.2 et 5.8.3 constitue un exercice
Aide-M´
eostatistique lin´
Z ind´ependantes, admettant
et, en appliquant successivement [41], [40] et [39], on ´etablit
Au niveau des variables transform´ees, on se trouve dans une situation
toutes les variables ;
Paragraphe 3.2.3.
du Cokrigeage
simple
subsiste : il y a bien S´eparation des
alg´ebriquement ind´ependantes. Bien plus, les trois autres conditions
Krigeage Universel, dont les pond´erateurs seront valables pour toutes
eostatistique Multivariable
notations en usage dans ce paragraphe, on a donc
B est la matrice inverse de B, se
5.8.4. Conclusion
vue pr´ec´edemment (chapitre 7, paragraphe 2.4.3).
Cokrigeage demande de r´esoudre :
suppl´ementaire ;
Le gain de temps calcul est donc consid´erable dans ce dernier cas, et
Aide-M´
eostatistique lin´
propre (monovariable). Pour rester en toute g´en´eralit´e, nous supposerons
Paragraphe 3.2.3.
Paragraphe 5.7.3.
de plus que les D´erives soient alg´ebriquement ind´ependantes. Le
variables sont Autokrigeables. Or
ele revient
que toutes les variables,
entach´
mesure ind´
ependantes.
encore autokrigeable par rapport aux autres.
Ces quelques observations tracent des perspectives pour la recherche de
Paragraphe 5.6.
des transformations lin´eaires (et bijectives !) des variables initiales de
mod´elisation structurale (les fonctions de covariance et les d´erives) et
esentation
Le texte fondateur de cette m´ethode,
Pour une analyse krigeante
Matheron, 1982.
egionalis´
stationnaires) pr´esenteraient des D´erives alg´ebriquement li´ees ; il est vrai
Wackernagel, 1985 ;
Sandjivy, 1987 ;
Grzebyk, 1993.
Wackernagel, 1992.
H. Wackernagel, distinguer deux niveaux dans ce qui est usuellement
variables selon le point de vue de la (co)r´egionalisation lin´eaire. Il
une combinaison lin´eaire de
Paragraphe 5.5-5.6.
eostatistique Multivariable
d´etails techniques.
egionalisation
uches, au moins au niveau
r´ealit´e dont on dispose, ce sont des Variables R´egionalis´ees z (x), et
a des impasses en ce qui concerne la
Reconstruction Op´eratoire des futures estimations.
m´ethode, mais seulement de mettre en garde contre les dangers de
encore plus exigeante que pour une estimation classique, et on doit en
Economie.
ele structural
On se place pour simplifier
Sous-Jacent stationnaire.
(monovariables et crois´ees). Supposons alors que la famille de covariances
mod´elis´ees apparaisse sous la forme :
ementaires de
covariances ne d´ependant pas des variables : chacune des covariances
simplement une g´en´eralisation de ce qui a ´et´e pr´esent´e en introduction
de ce chapitre. Comme on a choisi de se limiter au cas stationnaire,
Paragraphe 1.1.
composantes structurales16
mis en ´evidence num´eriquement, de sorte que cette pr´esentation [45]
K (h) soient sym´etriques. Que la Variographie mette en ´evidence des
El´ementaire . Par ailleurs, le mot
composantes
Krigeante, elle peut devenir cruciale.
Aide-M´
eostatistique lin´
ecomposition des variables
de ce chapitre, on adoptera le point de vue
Z est une FA scalaire sur
Paragraphe 1.4.
et on posera, en utilisant les notations [2] et
Parfois not´
egionalisation est alors de
famille des FASt-2 Y , peuvent se d´ecomposer sous la forme
u les Fonctions Al´eatoires Y
identiquement nulles.
Au contraire de la mod´elisation structurale, cette mod´elisation
de valeur, mais simplement de rappeler par exemple que dans la
Chapitre 1,
paragraphe 4.3 ;
chapitre 6, paragraphe 3.5.
dire si la d´ecomposition [47] est
fausse
math´ematiques d´epourvues de contre-partie physique, et requiert donc
avec la r´ealit´e.
6.2.3. Commentaires
qui apparaissent dans la
Matheron, 1982,
paragraphe IV.
Ayant d´elib´er´ement choisi le point de vue du (co)krigeage universel,
eostatistique Multivariable
Composante Structurale ;
Matheron, 1982, p6.
certains termes de la matrice a
Matheron, 1982, p 1.
egionalisation
Le rapprochement entre le d´eveloppement [45] du faisceau de covariances
selon les Composantes Structurales K
et le d´eveloppement [47] des FASt-2 selon les Facteurs Yp
conventionnels,
mais indispensables pour les d´eveloppements ult´erieurs. Une fois
Aide-M´
eostatistique lin´
Cette reconstitution
En particulier, elle ne sera pas univoque, mais d´ependra du choix plus
Matheron, 1982, p6.
ur la plus propice aux errements, donc celle qui
requiert le plus de doigt´e et de jugement dans la mise en pratique sur
des donn´ees r´eelles. . .
6.3. Estimation des facteurs
des Facteurs ´etant suppos´es connus, le Cokrigeage
multivariable
Annexe 2,
paragraphe 2.1.3.
Paragraphe 4.3.3.
expos´ee dans le cas g´en´eral, et ne sera donc plus ´evoqu´ee.
ventilation
Matheron, 1982.
constituent les donn´ees.
d´eveloppement de la d´erive (cf. [46]) et sachant que tous les Facteurs
nombre
eostatistique Multivariable
second membre : les conditions de r´egularit´e de cette estimation sont
composantes principales
Matheron, 1982, p1.
(indice p) dans cette ´echelle.
Composantes Structurales aux Facteurs, est une situation somme
Ce mot est pris sans aucune connation p´ejorative. Il d´esigne simplement un
de la r´ealit´e.
Aide-M´
eostatistique lin´
de cartographier des Facteurs, mais il ne faut pas pour autant oublier
la r´ealit´e, et nullement une repr´esentation univoque de celle-ci. Aussi
restrictif :
restrictif
implique
assez facilement r´efutable , ce qui
Grzebyk, 1993.
erive externe
Paragraphe 3.3.
de cette propri´et´e.
hi´erarchique
information riche.
Le plus simple est de proposer un exemple sommaire : le cas de
donn´ees m´et´eorologiques (pr´ecipitations en r´egions temp´er´ees) dont la
structure principale est en grande partie tributaire du relief. Si, comme
mauvaises conditions pour calculer les fonctions structurales crois´ees.
pr´ecipitations.
tendance
pr´ecipitations/topographie . Mais il peut arriver
u les profondeurs
Fonction de Forme des profondeurs mesur´ees aux puits.
eostatistique Multivariable
erive externe.
Remarques :
habituels inh´erents au terme constant de la D´erive. On peut
a ´et´e introduite dans le cadre du Krigeage Universel ;
Chapitre 7,
paragraphe 2.1.4.
physique ;
paragraphe 4.2.
donc plusieurs D´erives Externes.
7.2. Variographie
dans le cadre du Krigeage Universel, et en particulier les biais ; car le
Chapitre 7, paragraphe 6.
paragraphe 1.3.
´etant une Variable R´egionalis´ee a priori quelconque.
sur la famille des covariances Sous-Jacentes autoris´ees pour Z. Mais pour
7.3. Krigeage avec d´
erive externe
Aide-M´
eostatistique lin´
sachant que Z est de la forme
u on souhaite r´ealiser
disposera pas en g´en´eral des valeurs de s aux points requis, et il faudra
donc remplacer ces valeurs par leurs estimations.
Le Krigeage en D´erive Externe commence donc en g´en´eral par un
Krigeage de la Fonction de Forme.
type nouveau, la technique de la D´erive Externe ouvre la porte ipso
Chapitre 8,
paragraphe 2.4.
Covariances G´en´eralis´ees, pourvu naturellement que soient introduites
Discussion
Au terme de cet Aide-M´emoire, on peut souhaiter que le lecteur
u les jugements, ou les feelings, peuvent
eostatistique Multivariable
propose donc pour conclure une amorce de discussion sur deux phrases
avec le variogramme crois´e, on perd sur tous les tableaux . Cette
Paragraphe 2.4.
phrase, sans doute exag´er´ement p´eremptoire, r´esumait le fait que le
variogramme est plus
gourmand
en donn´ees que la covariance
au moins de nuancer ce propos en rappelant que
ne manifestent pas de non-sym´etrie, le variogramme crois´e est plus
robuste 20 . En revanche,
parce que des conditions fortes de stationnarit´e au moins locale sont
cette fois requises.
Paragraphe 4.1.
le variogramme crois´e
peut indiquer un d´ecalage (mais pas son sens) 21 . De fait,
distances du variogramme crois´e, dans des conditions qui peuvent
ce d´ecalage.
Un exemple possible concerne la paire de variables
d´eduire la valeur absolue de a, sinon son signe.
Ces deux remarques soulignent a contrario la tonalit´e parfois trop
u les mises en garde ont ´et´e multipli´ees : ainsi que cela ´etait annonc´e
dans sa pr´esentation, ce chapitre ´etait compris comme une r´evision, aussi
bien en ce qui concerne les techniques math´ematiques que les conseils
temps est maintenant venu de la mise en pratique, chose qui par nature
ur en tout premier lieu au
pr´esent manuel. . .
Bibliographie
est-elle le paragraphe consacr´e au Cokrigeage, dans le
Fascicule 5 .
Aide-M´
eostatistique lin´
Canonique, Analyse des Correspondances), le cours
eostatistique Multivariable ,H. Wackernagel,
G´eostatistique.
Pour une analyse krigeante des donn´
egionalis´
G. Matheron, 1982.
Application of geostatistical analysis to the evaluation
of petroleum reservoirs with well logs ,
J.-P. Delhomme & J. P´elissier-Combescure, 1983.
egionalisation stationnaire ,
M. Grzebyk , 1993 .
Annexe
Compl´
multivariable et stationnarit´e de ses composantes, on choisira un exemple
Paragraphe 2.1.
bivariable dans R1. Soient alors X(x) une FASt-2 de fonction de
ind´ependante de X, et a et b deux r´eels quelconques. Alors,
Z sont deux FASt-2, mais
en g´en´eral pas la stationnarit´e du couple de FA. Toutefois, cette
eostatistique Multivariable
Compl´
fonction des variogrammes crois´es, et que seules sont accessibles des
Paragraphe 2.3.
Plus pr´ecis´ement, soit la fonction auxilliaire F (paire, et sym´etrique en
en fonction de F , donc en
sym´etris´ee
Aide-M´
eostatistique lin´
Annexes
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 1
erance conditionnelle :
esentation
unes de ses applications possibles en G´eostatistique. Une de ces
a ´et´e vue au Chapitre 4 en Estimation Globale,
aucune d´emonstration.
de variogrammes, est donn´e au second paragraphe.
introduire le krigeage al´eatoire.
1.1. Rappel du th´
Soient deux Variables Al´eatoires Z et X. On supposera que Z admet une
esp´erance
math´ematique , le th´
enonc´
e rigoureux,
cours de Probabilit´
rappelle que cette esp´
math´ematique de Variable Al´eatoire, du fait de la pr´esence de X.
1.2. Quelques formules
D´esignons par F la loi de Z, et par P la loi de la variable conditionnante
Aide-M´
eostatistique lin´
les ´etats i avec les probabilit´es correspondantes pi. Alors :
Cette expression est en particulier utile pour des calculs de
variogrammes, comme on le verra au paragraphe suivant.
une Variable Al´eatoire:
1.4. Remarque sur la variance conditionnelle
On peut ´evidemment proposer une formule similaire pour calculer la
se rencontre peu en G´eostatistique, puisque justement nous travaillons
Cette remarque demeurera
valable au chapitre 8, dans
le traitement des FAI-k.
que, avec les notations pr´ec´edentes :
a plusieurs variables conditionnantes
conditionnantes X et Y , on trouve :
erance conditionnelle : m´
en Z, est une quantit´e
deux fois al´eatoire , comme ´etant fonction
une quantit´e al´eatoire, comme fonction de Y .
ur que E [Z] existe, nous pouvons par
exemple,
Chapitre 6, paragraphe 2.1
2. Application aux calculs de variogrammes
ele triangulaire
[0, a] suivant la loi uniforme.
Soit la Fonction Al´eatoire Z(x) qui, sur chaque segment de la forme :
pour deux indices k et k distincts.
Aide-M´
eostatistique lin´
vaut, compte-tenu de la parit´e :
ele exponentiel
Reprenons une construction similaire : des Variables Al´eatoires
en choisissant cette fois comme extr´emit´es de ces segments un processus
ainsi obtenu la covariance exponentielle :
de la fonction C).
3. Introduction au krigeage al´
eatoire
esentation
rencontr´e en Estimation Globale. Dans le cas du Krigeage, il peut servir
erance conditionnelle : m´
voisinage
sur lequel on calculera une fois pour toutes les pond´erateurs,
compte des incertitudes de localisation, comme on en rencontre par
irr´ealiste, les erreurs de localisation ´etant souvent structur´ees et surtout
fortement corr´el´ees.
earit´
e, autorisation et universalit´
3.3. Optimalit´
´ecrire sa variance
Chapitre 6,
paragraphe 1.3.
Aide-M´
eostatistique lin´
Notons que cette formule est vraie en toute g´en´eralit´e, quelle que
ependantes
Chapitre 3,
avec les notations usuelles :
paragraphe 3.1.
ependantes
erance conditionnelle : m´
la forme ´equivalente :
eme du Krigeage Al´
eatoire
obtient
eatoire.
de Krigeages Al´eatoires.
devient
3.5. Remarque importante
de la matrice de Krigeage : terme nul dans le cas du Krigeage Al´eatoire,
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 2
Compl´
esentation
a ´et´e pr´esent´e au chapitre 7.
Au premier paragraphe, on compare les r´esultats du Krigeage
a moyenne inconnue.
La pr´ecision respective des estimateurs est examin´ee en fonction
de la somme des poids du Krigeage Simple.
relation entre le Krigeage Universel et le
Krigeage Ordinaire .
Sous-Jacent stationnaire, pour ´etablir une g´en´eralisation du
Cette g´en´eralisation est d´etaill´ee pour le krigeage ponctuel, et
1. Estimation des r´
esidus et Krigeage Simple
Chapitre 6,
paragraphe 3.3.2.
inconnue :
covariance K.
commodit´e la terminologie de
Krigeage Ordinaire
toujours r´egulier dans la suite du
paragraphe.
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 7,
paragraphe 2.3.
Krigeage Simple 1
1.2.1. Krigeage ordinaire
Chapitre 7,
paragraphe 2.4.4.
de poids total nul :
point de donn´ee.
1.2.2. Estimation de la moyenne
´etait nul, on aurait
Toujours selon la
egularit´
de Krigeage Simple.
ements sur le th´
ecapitulation
1.3. Estimation du R´
Il est facile, selon le cheminement habituel, de construire directement un
estimer.
Pour une combinaison lin´eaire
Cette covariance est nulle si
fois encore, comme dans le cas du Krigeage Ordinaire, cette condition
Aide-M´
eostatistique lin´
non nulle entre
u a ´et´e estim´e
1.4. Estimation des R´
esidus et Krigeage Simple
Chapitre 7,
paragraphe 5.3.
ements sur le th´
Alors, par comparaison entre [1] et [2] :
egalit´
e entre variances
Krigeage Simple est nulle.
Par ailleurs, au niveau des variances, on peut tirer de [2] la relation
classique
Voir par exemple
Rivoirard, 1984.
de Krigeage Simple :
Par ailleurs,
Aide-M´
eostatistique lin´
ecapitulation sur les variances et covariances
d´esignerons par q la somme des poids de Krigeage Simple, autrement
Voir en particulier
Rivoirard, 1984.
rencontr´es :
covariances relatives aux quatre estimateurs suivants : Krigeage Simple,
autres repose essentiellement sur les trois relations pr´ec´edentes, et sur
Simple. Le tableau r´ecapitulatif est alors le suivant :
eres de la somme des poids de KS
que des covariances ´etablies au §1.6, pour quelques valeurs
sensibles
de la somme q des poids de Krigeage Simple.
1.7.1. Somme ´
ait identit´e entre
Krigeage Ordinaire
Krigeage Simple . On a
alors le jeu de relations :
ements sur le th´
1.7.2. Somme ´
1.7.3. Somme ´
Krigeage Ordinaire. En revanche, pour
´egalit´e
Par ailleurs,
2.1. Expression du th´
eme au niveau des estimateurs
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 7, paragraphe 4.2
le terme constant de la D´erive.
d´erive), on notera avec un indice U la solution du Krigeage Universel,
et avec un indice O la solution du
Chapitre 7, paragraphe 5.
Si de plus on pose
Chapitre 7,
paragraphe 4.2.
ements sur le th´
strict, au niveau des estimateurs.
2.2. Expression du th´
eme au niveau des variances
Krigeage Ordinaire
Chapitre 7,
paragraphe 2.4.4.
ci-dessus, et a donc disparu. Donc la somme
est une CLA : elle admet par cons´equent une variance, et est de plus
Krigeage Ordinaire
donc par suite,
Aide-M´
eostatistique lin´
ce qui prouve incidemment que
Cette formule peut se d´evelopper en
Chapitre 7,
soit encore, avec les notations usuelles
paragraphe 4.2.
2.3. Illustration sur un cas simple
On sait par un exercice classique que le
Krigeage Ordinaire
les deux extr´emit´es du segment de donn´ees. On a incidemment :
ements sur le th´
erents
3.1. Notations
U les Krigeages Universels ´etablis
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 7,
paragraphe 2.4..
3.2. Additivit´
e des estimateurs du Krigeage
Cette notation, toute
Notons cette fois
temporaire, ne risque pas
a confusion avec
efinitions pr´
edentes.
et reprenons sous une forme plus g´en´erale la d´emarche pr´ec´edente, en
posant
ements sur le th´
ce qui, au niveau des estimateurs, donne :
Krigeage Simple ), on retrouve bien la formule classique :
Chapitre 7,
paragraphe 5.3.
3.3. Additivit´
e des variances
ce qui prouve en particulier que
Krigeage en termes de projections.
Journel, 1977.
Aide-M´
eostatistique lin´
U ], les termes de la
ements sur le th´
u le tableau r´ecapitulatif :
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 3
Aspect dual
du Krigeage Universel
esentation duale du Krigeage Universel
1.1. Compl´
Voir annexe
consacr´
Chapitre 7,
paragraphe 5.2.
Aide-M´
eostatistique lin´
soit, au niveau de la Variable R´egionalis´ee,
etre compris
ele probabiliste
1.2. Estimation de la D´
erive et Krigeage Universel
Chapitre 7,
Nous savons que
paragraphe 4.1.
(Comme pr´ec´edemment pour le R´esidu, nous exprimons cette estimation
au niveau de la Variable R´egionalis´ee).
Par ailleurs, de la relation ´evidente
Voir annexe consacr´
(vue en d´etail dans le cas particulier du
Krigeage Ordinaire ), il
probabiliste : la construction de la matrice du KU, dans une optique de
minimisation de variance.
2. Caract´
On sait pour commencer que le KU est un interpolateur exact. Si le
Ces ´equations sont au nombre de N , si N est le nombre de points de
Par ailleurs, nous savons que
Paragraphe 1.1.
On a cette fois k ´equations, k ´etant le nombre de fonctions f l.
z(x) est en r´ealit´e
z(x), toute r´ef´erence probabiliste a
et pratique
une fois pour toutes. Cette condition est essentielle.
Le stockage du reste de la
eresse
pas aux variances.
En revanche, si on renonce au calcul des variances, on peut se contenter
Aide-M´
eostatistique lin´
4. Perspectives
On notera que la formulation duale du Krigeage fournit une indication
on pourrait donc imaginer un algorithme de cartographie automatique
simple en voisinage unique, risque de se compliquer notablement lors du
passage en voisinages glissants.
Chapitre 4
emonstration
esentations
Enonc´
Z admet des Repr´esentations.
sont de la forme :
u les Al sont des Variables Al´eatoires quelconques.
erateurs
Chapitre 7,
paragraphe 4.1.
importance : ce qui est d´ecisif est la possibilit´e de construire au moins
poids suivants :
Aide-M´
eostatistique lin´
Nous adopterons la notation en mesure :
Alors, pour toute fonction de base f s :
eatoire non stationnaire
quelconque. Alors :
emonstration du th´
esentations
3.4. Conclusion
On sait donc construire au moins une Repr´esentation Z(x) pour toute
4. Caract´
esentations
Enonc´
Posons :
4.3. Condition n´
ecessaire
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 5
emonstration du
egularit´
Enonc´
est r´egulier si et seulement si :
ind´ependantes sur les donn´ees.
2. Remarque pr´
eliminaire
3. Condition n´
ecessaire
ecessit´
e de la seconde condition
Supposons une d´ependance lin´eaire des Fonctions de Base sur les
Aide-M´
eostatistique lin´
est singulier.
Par la suite, nous devons donc supposer au moins la seconde condition
En fait, on peut trouver
une infinit´
tels coefficients. Dans le
esent, peu importe
le jeu particulier choisi.
ere condition
identiquement nulle et telle que :
Schwartz,
Autrement dit :
ecessit´
ere condition
Voir annexe sur
esentations.
u x est un point quelconque. Alors :
egalit´e ´etant vraie pour tout x, elle
emonstration du th´
egularit´
esultat compl´
ementaire
3.4.1. Cons´
equence du th´
combinaison lin´eaire des fonctions de basef lx.
eciproque
Enonc´
est de variance nulle si et seulement si la combinaison
des fonctions de base f lx.
Supposons maintenant les deux conditions de r´egularit´e satisfaites, et
Aide-M´
eostatistique lin´
, on obtient
Chapitre 6
Equivalence
Spline-Krigeage
esentation
stationnaire, et on examine successivement les formulations de
exige de formuler
quelques r´esultats alg´ebriques sur les propri´et´es de la matrice de
paragraphe 4.1.
de FAI-k examin´e ult´erieurement, nous choisirons exceptionnellement de
Aide-M´
eostatistique lin´
u, en reportant dans les conditions [2] :
1.2. Estimateur du maximum de vraisemblance (cas gaussien)
dans le cas gaussien :
est donc connu ;
1.3. Point de vue g´
as des as comme ´etant les
valeurs qui minimisent la forme quadratique :
a annule les d´eriv´ees partielles de la
Equivalence Spline-Krigeage
Paragraphe 1.1.
Paragraphe 1.1.
1.4. Conclusion
Fonction Al´eatoire gaussienne.
2. Notations G´
erales
2.1. Indices et ensembles concern´
de ces points xu, xv, . . ..
disjointe, et par cons´equent :
2.2. Matrices de covariances
les notations ci-dessus, nous avons matriciellement :
2.2.1. Propri´
de type positif.
Aide-M´
eostatistique lin´
2.2.2. Notations
de la matrice [B]. Autrement dit,
La relation entre ces deux quantit´es sera pr´ecis´ee au §2.4.
2.3. Une identit´
qui exprime que la densit´e du multiplet zi est ´egale au produit de la
valeurs conditionnantes) par la densit´e conditionnelle du multiplet zu,
notations adopt´ees pr´ec´edemment :
d´epend pas des zi ;
multigaussienne, avec :
pour une Fonction Al´eatoire gaussienne ;
Equivalence Spline-Krigeage
obtenir :
identit´e purement alg´ebrique
dans laquelle la loi de Gauss ne joue
composantes sur A et sur V , on sait que
3. Krigeage Simple
erateurs du Krigeage Simple,
eris´es par les ´equations de Krigeage Simple :
les inconnues zu.
zu qui r´ealisent ce minimum nul sont donc :
Aide-M´
eostatistique lin´
4. Krigeage Universel
la forme quadratique :
on veut minimiser
en deux ´etapes :
est de type positif strict, le
soit encore
par rapport aux al : ce minimum est atteint pour
erive, paragraphe 1.
Alors, la valeur de zu qui assure le minimum est donn´ee par :
Equivalence Spline-Krigeage
eque (FAI-k)
On supposera en revanche toujours par la suite que la matrice Kij est
base f li, et on supposera que ces fonctions de base sont lin´eairement
Chapitre 8,
paragraphe 3.3.
est un vecteur libre quelconque.
ou explicitement :
5.2. Donner un sens aux Splines
de covariance g´en´eralis´ee K est donn´ee par :
Aide-M´
eostatistique lin´
cl sont distincts des bi et cl du
paragraphe pr´ec´edent.
Covariance G´en´eralis´ee K, on trouve
5.3. Une bijection essentielle
Equivalence Spline-Krigeage
Il ´etablit donc une bijection entre le vecteur
ayant plus de composantes, mais
5.4. Propri´
es de la matrice Bij
vecteur quelconque.
. Et, plus g´en´eralement,
Aide-M´
eostatistique lin´
La covariance de Y i et Y j existe donc, et vaut :
Finalement :
urement
nulle. Y est donc en covariance nulle avec toute Combinaison
Lin´eaire Autoris´ee, et en particulier Y j . Alors,
Finalement,
5.5.1. Annonce de la m´
esultat
On examine le minimum de la forme quadratique gi Bij gj sous la
Equivalence Spline-Krigeage
egularit´
inversible.
eme de Krigeage.
eme des Splines
Annulons les d´eriv´ees partielles de gi Bij gj par rapport aux
composantes inconnues gu, soit :
En d´ecomposant cette somme sur I en ses composantes sur A et sur V , On conserve les notations
usuelles : A d´
esigne
on a les ´equations :
5.5.4. Cons´
equence de la singularit´
urement nulle, qui
est donc de covariance nulle avec toute Combinaison Lin´eaire Autoris´ee,
et en particulier avec
Paragraphe 5.3.
On a donc ´etabli un premier r´esultat :
Aide-M´
eostatistique lin´
5.5.5. Condition n´
ecessaire de singularit´
eme de Splines
On a donc construit une combinaison lin´eaire des fonctions de base,
u le r´esultat :
eciproque
fonctions de base ne sont pas lin´eairement ind´ependantes sur A.
ecapitulatif
En conclusion des deux implications pr´ec´edentes,
5.5.8. Explicitation de la solution des Splines
Equivalence Spline-Krigeage
Paragraphe 5.1.
5.5.10. Explicitation des pond´
Aide-M´
eostatistique lin´
esultat compl´
ementaire
. Posons
En particulier,
est nulle sur A (ensemble des donn´ees) parce que le Krigeage est un
interpolateur exact. Donc :
covariances des Erreurs de Krigeage.
Chapitre 7
Etude de la bathym´
sur le site du Titanic
esentation
est extrait de la publication
Traitement des donn´
spatial : la G´
eostatistique et ses usages
Les donn´ees relatives au site du Titanic sont pr´esent´ees
profondeurs ne seront pas mentionn´ees, non plus que les d´etails sur
la strat´egie de la campagne de reconnaissance.
esentation des donn´
de reconnaissance : pourquoi cette orientation pr´ecis´ement, pourquoi
pas que la G´eostatistique ne peut travailler que sur des donn´ees
soigneusement prises en compte avant tout traitement statistique, soit en
force est de constater que les donn´ees privil´egient une direction. En
Aide-M´
eostatistique lin´
d´ecision, nous nous rabattons sur le
des raisons de prudence, pour des raisons de r´ealisme aussi, il est bon
2. Calcul des variogrammes
3. Analyse Variographique non stationnaire
3.1. Approche automatique
carte r´esultante, obtenue par Krigeage avec des voisinages de 12 points
inacceptables : le voisinage comporte des informations sur chacun des
plausibles.
Etude de la bathym´
etrie sur le site du Titanic
programme diagnostique cette fois une FAI-2, avec une Covariance G´e-
n´eralis´ee lin´eaire. Le Krigeage, r´ealis´e avec le voisinage par d´efaut de 16
points, est pr´esent´e sur la planche 4. On note une certaine am´elioration,
un but p´edagogique. En revanche, dans le cas de la planche 5, le r´esultat
alors en adoptant
3.3. Une solution acceptable
de vue r´egularit´e et degr´e de d´erive, de celui de la planche 3 ; en revanche,
gommer
non qui existe r´eellement, et dont la structure est
non et du reste du champ. Les donn´ees disponibles dans
ce cas ne le permettaient pas. Tout au plus, on aurait pu retirer de
structural pour le reste : la restitution de la bathym´etrie aurait alors ´et´e
un peu meilleure sur la majeure partie de la carte, et vraisemblablement
egement des calculs
Aide-M´
eostatistique lin´
vraisemblablement la faible d´egradation constat´ee.
Naturellement, une ´etude plus d´etaill´ee ne saurait se contenter de ce
r´esultat. . .
ements de conclusion
´etude r´eelle.
proximit´e imm´ediate des donn´ees est excellente. Malheureusement, ce
et degr´e impos´e de la d´erive) mesure la n´ecessaire responsabilit´e que le
Etude de la bathym´
etrie sur le site du Titanic
Aide-M´
eostatistique lin´
INFORMATION DISPONIBLE
Planche 1.
Etude de la bathym´
etrie sur le site du Titanic
VARIOGRAMMES SUR PROFILS
Planche 2.
Aide-M´
eostatistique lin´
ESTIMATION PAR KRIGEAGE
Voisinage : 12 points, pas de code
Spline
Planche 3.
Etude de la bathym´
etrie sur le site du Titanic
ESTIMATION PAR KRIGEAGE
Voisinage : 16 points, code [3]
Lin´eaire
Planche 4.
Aide-M´
eostatistique lin´
ESTIMATION PAR KRIGEAGE
Voisinage : 24 points, code [5]
Cubique
Planche 5.
Etude de la bathym´
etrie sur le site du Titanic
ESTIMATION PAR KRIGEAGE
Voisinage : 24 points, code[5]
Cubique
Planche 6.
Aide-M´
eostatistique lin´
ESTIMATION PAR KRIGEAGE
Voisinage : 8 points, code [5]
Cubique
Planche 7.
Etude de la bathym´
etrie sur le site du Titanic
ECART-TYPE DE KRIGEAGE
Voisinage : 8 points, code [5]
Cubique
Planche 8.
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 8
Introduction
esentation
exercices propos´es dans le
Fascicule 5
exemple ´el´ementaire.
non syst´ematique : comment estimer un signal lorsque les donn´ees
ematique
eses et notations
On suppose que les donn´ees utilis´ees dans cet exercice sont des
erence (Fascicule 5,
p205), on se place
Krigeage Universel :
stationnaire K(h) ;
non essentielle ; mais on imagine mal en pratique comment on pourrait
Dans ces conditions, on peut consid´erer que Y constitue un
signal
de donn´ees sur le
signal bruit´e , et on voudrait reconstituer le signal
nettoyage
Par un calcul trivial, on explicite le jeu de fonctions structurales :
Aide-M´
eostatistique lin´
ce qui prouve incidemment que la covariance crois´ee entre Y et Z est
Lin´eaire de Cor´egionalisation.
active
auquel est associ´ee la variance
signal
exactement un Facteur
au sens du chapitre 9,
erance nulle.
la donn´ee en ce point.
1.3. Remarque sur la r´
egularit´
ses conditions de r´egularit´e sont-elles exactement celles de ce krigeage
optique Krigeage Universel.
´evidemment confortable math´ematiquement, mais fait en contrepartie
courir des risques (classiques. . . ) au niveau du r´ealisme des estimations.
1.4. Comparaison aux krigeages monovariables
estimations monovariables du
signal
signal bruit´e
ur de disposer de donn´ees non bruit´ees, et de pouvoir
Krigeage Ordinaire
banal, dont la solution est fournie
on ne peut r´ealiser cette estimation faute de donn´ees.
faire en revanche compte-tenu des donn´ees disponibles est le krigeage de
auquel est associ´ee la variance
Aide-M´
eostatistique lin´
En revanche, par comparaison des variances [3] et [1], on ´etablit
imm´ediatement
le krigeage est un interpolateur exact.
La comparaison entre
est plus compliqu´
En revanche, en un point de donn´ee, Z est connue donc de variance
variance irr´eductible.
1.6. Estimation de la d´
de Y ´etait constante, mais rien ne changerait fondamentalement si elle
admettait le d´eveloppement habituel du KU).
Chapitre 6,
paragraphe 3.5.
Comme on le verra au
mais rien dans les seules donn´ees z ne permet de valider cette d´ecision. paragraphe suivant,
ecision
qui a pour effet de
ventiler
D´erive de Y comme elle est, de facto, la D´erive de Z.
ee le concernant.
ematique
eses et notations
Il est int´eressant ici de roder les notations correspondant au point de
Chapitre 9,
paragraphe 1.4.
vue th´eorique :
Ainsi, en gardant la terminologie du paragraphe pr´ec´edent, le couple
On essaie de garder le
signal/signal bruit´e
fascicule 5, p206.
Au niveau de la D´erive, on a la mod´elisation globale
qui, suivant un exemple vu dans le chapitre 9, se d´etaille ainsi :
Chapitre 9,
paragraphe 4.2.1.
ce qui pr´ecise que le nombre k de Fonctions de Base vaut 2 et que
Aide-M´
eostatistique lin´
d´ecrit bien la situation :
egularit´
eme de cokrigeage
ce paragraphe. On note que, contrairement au paragraphe 1, les deux
discerner dans la D´erive globale ce qui revient au
signal
satisfait aux conditions [6]. Le Cokrigeage est donc impossible si on ne
seulement :
u la d´erive du signal ´etait inconnue, mais la d´erive du bruit ´etait nulle.
Ici, toutes deux sont ´egalement inconnues.
bruit´ees , de
ce qui provient de la
d´erive du signal. Ce r´esultat, ´etabli sur
en ne disposant de donn´ees que sur le
signal
2.3. Estimations optimales
signal
esultats peuvent
etablir presque
ediatement,
avec les notations du pr´esent paragraphe.
ils sont solutions de
Aide-M´
eostatistique lin´
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Notations, Index,
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Notations
esentation
Cette liste rappelle les notations les plus fr´equemment utilis´ees
dans ce document, notations qui sont aussi dans la mesure du
r´ef´erence.
1. Rappel pr´
eliminaire
Rappelons une convention dans ce document : les mots ou expressions qui
Il est possible que
cette convention soit
cue parfois comme
cante. Toute suggestion
anormales
pour une alternative
sera bienvenue. . .
2. Conventions g´
erales
eviations
Voici quelques abreviations, courantes dans ce document ainsi que dans
Covariance G´en´eralis´ee.
Combinaison Lin´eaire Autoris´ee.
Fonction Al´eatoire.
Fonction Al´eatoire Stationnaire.
Krigeage Disjonctif.
Krigeage Ordinaire.
Krigeage Simple.
Krigeage Universel.
Variable Al´eatoire.
Variable R´egionalis´ee.
La plupart de ces abr´eviations sont classiques. Il faut pourtant noter
est utilis´ee pour
Aide-M´
eostatistique lin´
Krigeage
2.2. Convention de sommation
r´ef´erenc´es par une lettre : [O], [I], etc. qui est reprise en indice pour
dans ce document sont :
Krigeage Al´eatoire.
Krigeage Dual.
Estimation de la D´erive.
Krigeage Ordinaire.
Estimation du R´esidu.
Krigeage Simple.
Krigeage Universel.
Estimation du terme correctif de D´erive.
2.4. Majuscules, minuscules
Notations
Randomisation
Immersion Probabiliste , selon la
terminologie judicieusement sugg´er´ee par F. Maisonneuve.
Ainsi en particulier, avec les notations habituelles,
g´eographique .
g´eographique
paragraphe 3.5.
avec une minuscule.
eriques
stationnaires :
Krigeage.
formulation duale du Krigeage :
souvent utilis´ee dans ce texte.
de covariances centr´ees :
Esp´erance math´ematique :
ces fonctions (indic´ee traditionnellement 0) soit la
Aide-M´
eostatistique lin´
g´eographique .
k d´esigne parfois aussi le nombre de fonctions de
base de la D´erive. Bien que ces deux utilisations
soient fondamentalement contradictoires, les risques
de confusion sont en g´en´eral peu importants.
Fonction de Covariance G´en´eralis´ee. Dans le pr´esent
texte, on d´esigne ´egalement parfois par K la fonction
Si K est une covariance (ou une CG) stationnaire, elle
est fonction du seul vecteur h, ce qui se note K(h).
Dans le cas le plus g´en´eral, elle est fonction de deux
Chapitre 2.
Remarque : en G´eostatistique Transitive, et dans
ce chapitre seulement, K d´esigne le Covariogramme
quelconque confusion.
Indices usuels des fonctions de base de la D´erive.
d´eveloppement
Domaines de r´egularisation.
Variance :
jeu (x1, · · · , xN ) de N coordonn´ees, si N est la
g´eographique . On adopte
pour la Variable R´egionalis´ee(d´eterministe), et Z(x)
pour la Fonction Al´eatoire associ´ee. Dans une ´etude
r´eelles, les donn´ees disponibles sont repr´esent´ees par
FAI-k. Alors que la notation Z(x) repr´esente une
sur un espace abstrait de mesures.
Les indices grecs sont usuellement r´eserv´es pour
d´esigner les points de donn´ees, en particulier dans
Notations
Symbole de Kronecker :
Mesure de Dirac au point a : pour toute fonction
Variogramme. Un variogramme stationnaire, est not´e
Krigeage. On ne pr´ecise que rarement que ce
ur une fonction de la quantit´e
indice qui rappelle le type de Krigeage dont il est
la somme des poids de Krigeage Simple :
Ensemble des Combinaisons Lin´eaires Autoris´ees
Aide-M´
eostatistique lin´
D´esigne en g´en´eral une variance. Dans certains
Variance de Dispersion du domaine V dans le
4. Symboles divers
estimateur de Z(x) . Sauf mention
(moindres carr´es, par exemple).
Utilis´e avec des Variables Al´eatoires, repr´esente
Mesure du domaine V : longeur dans R1, aire dans
moyenne de cette fonction sur le domaine pr´ecis´e.
Lorsque la fonction concern´ee a deux arguments, il
exemple,
Additives (variables r´egionalis´ees)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Analyse krigeante
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142, 174
Analyse structurale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 23
Analyse variographique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 23
Autokrigeable
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Changement de support
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Changements de support
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Cokrigeage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Cokrigeage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Combinaison Lin´eaire Autoris´ee
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Compatible avec les d´erives
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Composantes structurales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Cor´egionalisation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Correction de d´erive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Covariance crois´ee
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Covariance de dispersion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Covariance exponentielle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Covariance triangulaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Covariogramme exp´erimental
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Covariogramme g´eom´etrique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Covariogramme mod´elis´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Covariogramme transitif
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
D´ecalage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
D´ephasage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 95
D´erive al´eatoire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
D´erive de FAI-k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
D´erive externe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Demi-variogramme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Descente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
De type positif conditionnel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
De type positif conditionnel strict
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Dispersion statistique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Echelle de travail
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Ergodicit´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 44
Erreurs partielles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Esp´erance conditionnelle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Espace probabilis´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Estimateur des moindres carr´es
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Estimateur sans biais
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Estimation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Aide-M´
eostatistique lin´
Estimation globale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Estimation locale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Expression duale (du krigeage)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Facteurs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
FAI-k sans d´erive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Filtrage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Fonction de forme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Fonction indicatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Fonctions auxiliaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Fonctions de base
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97, 125
Formulation duale du Krigeage Universel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Formule de Krige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 94
G´eostatistique transitive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Grandeur r´egionale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
H´et´erotopie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Ind´ependance lin´eaire des fonctions de base sur les donn´ees
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Interpolateur exact
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Isotopie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Isotrope
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Krigeage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Krigeage al´eatoire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Krigeage Ordinaire (KO)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85, 86
Krigeage Simple (KS)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Krigeage Universel (KU)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Loi spatiale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Maximum de vraisemblance
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Mesure autoris´ee
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Multiplicateurs de Lagrange
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 89
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Poids de la moyenne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Port´ee int´egrale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Principe de composition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Principe des grandeurs r´egionales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R´ealisation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
R´egularis´ee
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Randomisation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Reconstruction op´eratoire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Repr´esentation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Repr´esentation glissante
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 55
Repr´esentation transitive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Sans biais (estimateur)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
S´eparation des variables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154, 164
Seuil de r´ealisme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Situation pr´eal´eatoire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Sous-jacente
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Stationnarit´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Terme de ligne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Terme de section
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Terme de tranche
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Terme r´egulier
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114, 116
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Translat´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Transpos´ee
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Type positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Type positif conditionnel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Variable r´egionalis´ee (VR)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Variance de dispersion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 46
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Variogramme crois´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Variogramme des r´esidus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Variographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 23
Voisinage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Voisinage glissant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Zitterbewegung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Aide-M´
eostatistique lin´
Sommaire
Avertissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
eostatistique Lin´
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Bref rappel historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
eostatistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Un point de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4. Sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Chapitre 1
Variables R´
egionalis´
ees et Fonctions Al´
eatoires . . . . . . . . . . . . 11
ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6. Notations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
ethodes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
El´ement de solution
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3. M´ecanismes de passage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Deux notions essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1. Stationnarit´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2. Ergodicit´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3. R´ecapitulation pr´eliminaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.6. Une illustration
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1. Rappel pr´ealable
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 2
eostatistique Transitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1. Le Covariogramme Transitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2. Propri´et´es th´eoriques imm´ediates
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3. Positivit´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5. R´egularisations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. Implantation de la maille
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
. . . . . . . . . . . . . . . . . 33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
elisation du Covariogramme Transitif . . . . . . . . . . . 34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3. Une situation pr´eal´eatoire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4. Remarque sur la stationnarit´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5. Les trois Covariogrammes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Chapitre 3
Buts et moyens de la G´
eostatistique Lin´
eaire (1) . . . . . . . . . . 39
1. Limites de la g´
eostatistique lin´
eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.1. Cadre de travail
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4. Commentaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
ecanismes de calcul des variances . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1. Les Combinaisons Lin´eaires Autoris´ees
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3. Propri´et´es de la covariance stationnaire
3.1. Notations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
. . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3. Analyse de la formule
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4. Variance de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1. Dispersion statistique de v dans V
. . . . . . . . . . . . . . . . . 47
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3. Variance de dispersion de v dans V
. . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4. R´esultats compl´ementaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5. Formule de Krige
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Chapitre 4
Stationnarit´
e et ergodicit´
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Sommaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.3.2. Un exemple
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
ese stationnaire . 56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2. Combinaisons lin´eaires autoris´ees
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3. La port´ee int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4. Reconstruction op´eratoire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Chapitre 5
Buts et moyens de la G´
eostatistique Lin´
eaire (2) . . . . . . . . . . 61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.2. Combinaisons lin´eaires autoris´ees
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.3. M´ecanismes de calcul
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.4. Propri´et´es du variogramme stationnaire
2. Formules des variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2. Variance de Dispersion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3. Autre pr´esentation du variogramme
. . . . . . . . . . . . . . . . . 66
egularisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1. R´esultats g´en´eraux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2. Formule de changement de support
. . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Chapitre 6
Estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1. Alternative global/local en estimation . . . . . . . . . . . . . . 71
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.2. Estimation globale, estimation locale
. . . . . . . . . . . . . . . . 72
Echantillonnage al´eatoire pur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3. Remarque sur la g´eom´etrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.6. Une remarque instructive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.1. Introduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2. Les ´etapes du krigeage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Etape 1 : contrainte de lin´earit´e
. . . . . . . . . . . . . . . . 79
. . . . . . . . . . . . . . . 81
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Aide-M´
eostatistique lin´
3.3. Quelques exemples de krigeage ponctuel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.4. Quelques commentaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4.1. Le Krigeage, interpolateur exact
. . . . . . . . . . . . . . . . 87
Chapitre 7
eles non stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
a la non-stationnarit´
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.2. Id´ee directrice de la G´eostatistique Non Stationnaire
1.3. Comment tester la non-stationnarit´e ?
. . . . . . . . . . . . . . . 94
2. Le Krigeage Universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.1. La dichotomie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.1.1. Les donn´ees disponibles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Contrainte au niveau de la Variable R´egionalis´ee
2.1.3. Contrainte au niveau de la Fonction Al´eatoire
2.1.4. Structure de la D´erive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.2.2. Estimation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.2.3. Pr´esentation matricielle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.3.2. Estimation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.3.3. Pr´esentation matricielle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.3.4. Plaidoyer pour une d´emarche rigoureuse
2.4. Propri´et´es du Krigeage Universel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.4.1. Propri´et´es g´en´erales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.4.2. Ind´ependance lin´eaire des fonctions de base
2.4.3. Une invariance des pond´erateurs du KU
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3. Le statut de la D´
erive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.1. Introduction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Evaluation optimale de la D´erive : id´ee directrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
fonctions de base
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
. . . . . . . . . . . . . . . 107
3.6. Vers un travail en accroissements
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
erive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
. . . . . . . . . . . . . . 110
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3.7. Dernier regard sur la D´erive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Sommaire
5. Compl´
emes du Krigeage Universel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2. Matrice inverse du Krigeage Universel
. . . . . . . . . . . . . . 113
5.3. Cons´equence : additivit´e des estimations
5.4. Correction de D´erive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.5. Additivit´e des variances
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.6. Commentaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2. Le variogramme des r´esidus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.5. Conclusion provisoire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Chapitre 8
eque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1. Introduction aux FAI-k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.1. Id´ee directrice
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.2. Vers des Combinaisons Lin´eaires Autoris´ees
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.4. FAI-k et repr´esentation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.4.1. Notations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
1.4.8. Un exemple
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
1.4.9. Commentaire sur les CLA-k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2. Covariances G´
eralis´
eme fondamental . 128
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.4. Fonctions de type positif conditionnel
. . . . . . . . . . . . . . 130
eque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
. . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.3.2. Orthogonalit´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.3.3. Lissage
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
esentation duale du Krigeage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.1. Le Krigeage comme interpolateur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3. Interpr´etation des ´equations duales
. . . . . . . . . . . . . . . . 136
. . . . . . . . . . . . . . . 137
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 9
eostatistique Multivariable . . . . . . . . . . . . 141
eme et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
1.1. Remarque pr´eliminaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
un exemple simpliste
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1.3. Deux consid´erations g´en´erales sur le multivariable
1.4. Notations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
2. Mise en place de la fonction structurale . . . . . . . . . . . 147
2.2. Propri´et´es ´el´ementaires des covariances crois´ees
2.4. Liens entre covariances et variogrammes crois´es
erances nulles . . . . . . . . . 152
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.2.2. Conditions de r´egularit´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.2.3. S´eparation des variables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.2.4. Le cokrigeage, interpolateur exact
. . . . . . . . . . . . . . 155
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4. Le cokrigeage universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.2. Les ´equations du cokrigeage universel
. . . . . . . . . . . . . . 159
4.2.1. Description de la d´erive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.3. Compl´ements sur le cokrigeage universel
4.3.1. Propri´et´es alg´ebriques du cokrigeage universel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.3.4. Pr´esentation duale du cokrigeage universel
5.2. Principal r´esultat
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.3. Adaptation des notations : cokrigeage
. . . . . . . . . . . . . . 165
5.6. Cokrigeage des variables transform´ees
. . . . . . . . . . . . . . 168
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.8.2. Transformation des variables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.8.4. Conclusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.1. Pr´esentation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.2.2. D´ecomposition des variables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.2.3. Commentaires
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Sommaire
6.3. Estimation des facteurs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
erive externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.2. Variographie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.3. Krigeage avec d´erive externe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Annexes
Chapitre 1
erance conditionnelle : m´
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
1.2. Quelques formules
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
1.4. Remarque sur la variance conditionnelle
2. Application aux calculs de variogrammes . . . . . . . . . . 191
. . . . . . . . . . . . . . . 191
. . . . . . . . . . . . . . . 192
3. Introduction au krigeage al´
eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.1. Pr´esentation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.2. Lin´earit´e, autorisation et universalit´e
. . . . . . . . . . . . . . 193
3.3. Optimalit´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.3.1. D´emarche g´en´erale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
uniformes ind´ependantes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
uniformes ind´ependantes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.5. Remarque importante
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Chapitre 2
Compl´
ements sur le th´
e . . . . . . . . . . . . . . . . 197
1. Estimation des r´
esidus et Krigeage Simple . . . . . . . . . 197
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
1.2.1. Krigeage ordinaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
1.2.2. Estimation de la moyenne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
1.2.3. R´ecapitulation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
1.3. Estimation du R´esidu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
1.4. Estimation des R´esidus et Krigeage Simple
1.6. R´ecapitulation sur les variances et covariances
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Aide-M´
eostatistique lin´
2.3. Illustration sur un cas simple
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
erents . . . . . . 207
3.1. Notations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.2. Additivit´e des estimateurs du Krigeage
3.3. Additivit´e des variances
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Chapitre 3
Aspect dual du Krigeage Universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
esentation duale du Krigeage Universel . . . . . . . . . 213
1.2. Estimation de la D´erive et Krigeage Universel
2. Caract´
et pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4. Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Chapitre 4
emonstration du th´
esentations . . . . . . . . 217
eses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Enonc´
eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
. . . . . . . . . . . . . . . 217
. . . . . . . . . . . . . . . . . 217
non stationnaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3.4. Conclusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4. Caract´
esentations . 219
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.3. Condition n´ecessaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Chapitre 5
emonstration du th´
egularit´
e du KI . . . . . . . . . 221
Enonc´
eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
2. Remarque pr´
eliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
3. Condition n´
ecessaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
3.1. N´ecessit´e de la seconde condition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
. . . . . . . . . . . . . . . . . 222
3.4. R´esultat compl´ementaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.4.2. R´eciproque
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Sommaire
Chapitre 6
Equivalence Spline-Krigeage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
erive . . . . . . . . . . . . 225
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
1.2. Estimateur du maximum de vraisemblance
(cas gaussien)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
1.3. Point de vue g´en´eral
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
1.4. Conclusion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
2. Notations G´
erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
2.1. Indices et ensembles concern´es
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
2.2. Matrices de covariances
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
2.2.2. Notations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
2.3. Une identit´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
3. Krigeage Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
. . . . . . . . . . . . . . 229
4. Krigeage Universel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
. . . . . . . . . . . . . . 230
eque (FAI-k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.2. Donner un sens aux Splines
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.3. Une bijection essentielle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.4. Propri´et´es de la matrice Bij
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.5.1. Annonce de la m´ethode et du r´esultat
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
5.5.4. Cons´equence de la singularit´e de Buv
5.5.5. Condition n´ecessaire de singularit´e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.5.6. R´eciproque
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.5.7. R´ecapitulatif
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.5.8. Explicitation de la solution des Splines
5.5.9. Explicitation de la solution du KI
. . . . . . . . . . . . . . 237
5.5.10. Explicitation des pond´erateurs du KI
5.5.11. R´esultat compl´ementaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Chapitre 7
Etude de la bathym´
etrie sur le site du Titanic . . . . . . . . . . . 239
esentation des donn´
ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
2. Calcul des variogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
3. Analyse Variographique non stationnaire . . . . . . . . . . . 240
3.1. Approche automatique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
3.3. Une solution acceptable
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
. . . . . . . . . . . . . . . . . 241
ements de conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Aide-M´
eostatistique lin´
Chapitre 8
ematique . . . . . . . . . . . . 253
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
1.4. Comparaison aux krigeages monovariables
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
1.6. Estimation de la d´erive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
. . . . . . . . . . . . . . . 258
2.3. Estimations optimales
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Bibliographie, Notations, Index, Table
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
1. Rappel pr´
eliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
2. Conventions g´
erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
2.1. Abr´eviations
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
2.2. Convention de sommation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
2.4. Majuscules, minuscules
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
4. Symboles divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277