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Déformations isomonodromiques et variétés de Frobenius |
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Publié par :
EDP Sciences
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La théorie des déformations isomonodromiques est une machine à produire des systèmes non linéaires d'équations différentielles ou aux dérivées partielles dans le domaine complexe, à partir d'une équation ou d'un système d'équations linéaires d'une variable complexe. La notion de structure de Frobenius sur une variété en est une belle application.
Ainsi, une équation différentielle à coefficients polynomiaux ou fractions rationnelles en la variable t admet en général pour solutions des fonctions transcendantes. D'autres familles sont célèbres elles aussi, les équations hypergéométriques ou les équations de Bessel, pour ne citer qu'elles.
Autrement dit, on se pose la question de savoir quelles sont les propriétés des solutions qui ne dépendent que de manière algébrique (donc en principe calculable) des coefficients de l'équation, et quelles sont celles qui nécessitent un recours à des manipulations transcendantes.
On est ainsi amené à traiter les systèmes d'équations linéaires, dépendant de plusieurs variables. La géométrie algébrique nous pousse aussi à considérer les propriétés globales de ces systèmes, c'est-à-dire à considérer des systèmes définis sur des variétés algébriques ou analytiques complexes.
De ce point de vue, les équations de Painlevé ont joué le rôle de prototype, depuis l'article de R. Fuchs [Fuc07], suivi par ceux de R. Garnier, qui a montré comment la sixième pouvait s'écrire comme équation d'isomonodromie, sortant ainsi du strict cadre de la recherche de nouvelles fonctions transcendantes.
05/12/2011
Langue :
Français
Pages :
308
Consultations :
4958
PDF / EPUB
Auteur : Sabbat Claude
Editeur : EDP Sciences
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